Упр.421 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то её значение уменьшится на 1/12. Найдите эту дробь. Равносильны ли неравенства:
1) x^2 — 2x — 15 > 0 и x^2 — 2x — 15 >= 0;
2) 1/(x^2 — x -20) < 0 и 1/(x^2 - x -20) <= 0;
3) х^2 - 6х + 10 > 0 и -x^2 + х — 1 <= 0;
4) x^2 + 2x + 3 < 0 и -2х^2 - 4 > 0?
Пусть числитель дроби равен $$m$$, тогда знаменатель равен $$m+1$$. Имеем дробь $$\frac{m}{m+1}$$.
После уменьшения числителя и знаменателя на 1 получаем дробь $$\frac{m-1}{m}$$. По условию:
$$\frac{m-1}{m}=\frac{m}{m+1}-\frac{1}{12}.$$
Решим уравнение:
$$ 12m(m-1)=12m^2-m(m+1) $$
$$ 12m^2-12m=12m^2-m^2-m $$
$$ m^2-11m=0 $$
$$ m(m-11)=0 $$
Так как числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, то $$m=11$$.
Тогда исходная дробь:
$$\frac{11}{12}.$$
Проверим равносильность неравенств.
$$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\ge 0$$.
Неравенства не равносильны, так как одно строгое, а другое нестрогое.
$$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\le 0$$.
Так как дробь с числителем $$1$$ не может быть равна нулю, то оба неравенства имеют одинаковое решение.
$$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\le 0$$.
Для первого неравенства:
$$ D=36-40=-4<0,\quad a>0 $$
Значит, $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x$$.
Для второго неравенства:
$$ -x^2+x-1\le 0 \iff x^2-x+1\ge 0 $$
$$ D=1-4=-3<0,\quad a>0 $$Это неравенство тоже верно при всех $$x$$. Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$.
Первое неравенство не имеет решений, так как
$$ D=4-12=-8<0,\quad a>0 $$
Второе неравенство равносильно
$$ 2x^2+4<0, $$
а оно также не имеет решений. Значит, неравенства равносильны.
Ответ
$$\frac{11}{12};$$ 1) нет; 2) да; 3) да; 4) да.
