Упр.421 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то её значение уменьшится на $$\frac{1}{12}$$. Найдите эту дробь.
2. Равносильны ли неравенства:
   1) $$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\geq 0$$;
   2) $$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\leq 0$$; 3) $$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\leq 0$$;
   4) $$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$?

Пусть числитель дроби равен $$m$$, тогда знаменатель равен $$m+1$$. Имеем дробь $$\frac{m}{m+1}$$.

После уменьшения числителя и знаменателя на 1 получаем дробь $$\frac{m-1}{m}$$. По условию:

$$\frac{m-1}{m}=\frac{m}{m+1}-\frac{1}{12}.$$

Решим уравнение:

$$12m(m-1)=12m^2-m(m+1)$$
$$12m^2-12m=12m^2-m^2-m$$
$$m^2-11m=0$$
$$m(m-11)=0$$

Так как числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, то $$m=11$$.

Тогда исходная дробь:

$$\frac{11}{12}.$$

Проверим равносильность неравенств.

1. $$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\ge 0$$.

   Неравенства не равносильны, так как одно строгое, а другое нестрогое.

2. $$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\le 0$$.

   Так как дробь с числителем $$1$$ не может быть равна нулю, то оба неравенства имеют одинаковое решение.

3. $$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\le 0$$.

   Для первого неравенства:

   $$D=36-40=-4<0,\quad a>0$$

   Значит, $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x$$.

   Для второго неравенства:

   $$-x^2+x-1\le 0 \iff x^2-x+1\ge 0$$
   $$D=1-4=-3<0,\quad a>0$$

   Это неравенство тоже верно при всех $$x$$. Следовательно, неравенства равносильны.

4. $$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$.

   Первое неравенство не имеет решений, так как

   $$D=4-12=-8<0,\quad a>0$$

   Второе неравенство равносильно

   $$2x^2+4<0,$$

   а оно также не имеет решений. Значит, неравенства равносильны.

Ответ

$$\frac{11}{12};$$ 1) нет; 2) да; 3) да; 4) да.