Упр.420 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (9 + корень(m))/(m — 81); Найдите область определения выражения:
1) корень(2x^2 — 9х — 18);
2) 1/корень(15 + 2х — х^2).

1. Сократим дробь:

   $$\frac{9+\sqrt{m}}{m-81}=\frac{9+\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9)}.$$

   Так как $$9+\sqrt{m}=\sqrt{m}+9,$$ то

   $$\frac{9+\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9)}=\frac{1}{\sqrt{m}-9}.$$

2. Найдём область определения выражения $$y=\sqrt{2x^2-9x-18}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$2x^2-9x-18\ge 0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot(-18)=81+144=225,$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 15}{4}, \quad x_1=-\frac{3}{2}, \quad x_2=6.$$

   Тогда

   $$2x^2-9x-18=(2x+3)(x-6),$$

   и с учётом знаков получаем:

   $$x\le -\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$

3. Найдём область определения выражения $$y=\frac{1}{\sqrt{15+2x-x^2}}.$$

   Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

   $$15+2x-x^2>0.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-2x-15<0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$

   Тогда

   $$-3<x<5.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sqrt{m}-9}$$; 2) $$(-\infty;-\frac{3}{2}]\cup[6;+\infty)$$; 3) $$(-3;5)$$.