Упр.413 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Задайте формулой вида у = а(х + m)^2 + n функцию, график которой изображён на рисунке 57. При каких значениях аргумента значения функции у = 3/2 x^2 — 7x + 1 меньше соответствующих значений функции y = -1/2 x^2 — 4?

Подробный ответ

Представим каждую параболу в виде $$y=a(x+m)^2+n$$, где вершина графика имеет координаты $$(-m;\,n)$$.

а) Вершина графика: $$A(-2;\,-4)$$, значит $$m=2,\ n=-4$$. Точка $$B(0;\,0)$$ лежит на графике, поэтому
$$0=a(0+2)^2-4,$$
$$4a=4,\quad a=1.$$
Следовательно, $$y=(x+2)^2-4.$$
б) Вершина графика: $$A(2;\,5)$$, значит $$m=-2,\ n=5$$. Точка $$B(0;\,1)$$ лежит на графике, поэтому
$$1=a(0-2)^2+5,$$
$$4a=-4,\quad a=-1.$$
Следовательно, $$y=-(x-2)^2+5.$$
в) Вершина графика: $$A(3;\,1)$$, значит $$m=-3,\ n=1$$. Точка $$B(0;\,4)$$ лежит на графике, поэтому
$$4=a(0-3)^2+1,$$
$$9a=3,\quad a=\frac13.$$
Следовательно, $$y=\frac13(x-3)^2+1.$$

Теперь решим неравенство:

$$\frac32x^2-7x+1<-\frac12x^2-4$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac32x^2-7x+1+\frac12x^2+4<0$$

$$2x^2-7x+5<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-7)^2-4\cdot2\cdot5=49-40=9$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm3}{4}$$

$$x_1=1,\quad x_2=\frac52$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то выражение меньше нуля между корнями:

$$x\in\left(1;\frac52\right).$$