Упр.410 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Задайте формулой вида $$y=ax^2+n$$ функцию, график которой изображён на рисунке 54.
- При каких значениях $$x$$:
- значения трёхчлена $$-3x^2+6x+1$$ больше $$-\frac{4}{3}$$;
- значения трёхчлена $$-5x^2+11x+2$$ не больше $$-\frac{2}{5}$$?
1) Для функции вида $$y=ax^2+n$$ вершина параболы находится в точке $$\left(0;n\right)$$. По графику видно, что вершина первой параболы имеет координаты $$\left(0;-6\right)$$, а точка $$\left(1;-4\right)$$ лежит на графике. Тогда
$$-6=n,\quad n=-6$$
$$-4=a\cdot 1^2-6,\quad a=2$$
Значит, $$y=2x^2-6$$.
Для второй параболы вершина имеет координаты $$\left(0;4\right)$$, а точка $$\left(1;3\right)$$ лежит на графике. Тогда
$$4=n,\quad n=4$$
$$3=a\cdot 1^2+4,\quad a=-1$$
Значит, $$y=-x^2+4$$.
2) Решим неравенство
$$-3x^2+6x+1>-\frac{4}{3}$$
$$-3x^2+6x+1+\frac{4}{3}>0$$
$$-9x^2+18x+7>0$$
$$9x^2-18x-7<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-18)^2-4\cdot 9\cdot(-7)=324+252=576$$
$$x_{1,2}=\frac{18\pm 24}{18}$$
$$x_1=-\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{7}{3}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, а знак неравенства строгий, получаем
$$x\in\left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right)$$
3) Решим неравенство
$$-5x^2+11x+2\le -\frac{2}{5}$$
$$-5x^2+11x+2+\frac{2}{5}\le 0$$
$$-25x^2+55x+12\le 0$$
$$25x^2-55x-12\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=55^2-4\cdot 25\cdot(-12)=3025+1200=4225$$
$$x_{1,2}=\frac{55\pm 65}{50}$$
$$x_1=-\frac{1}{5},\quad x_2=\frac{6}{5}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{5}\right]\cup\left[\frac{6}{5};+\infty\right)$$
Ответ
$$y=2x^2-6,\quad y=-x^2+4;$$
$$1)\ x\in\left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right); \quad 2)\ x\in\left(-\infty;-\frac{1}{5}\right]\cup\left[\frac{6}{5};+\infty\right).$$
