Упр.408 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Функция $$y=(x-4)^2+4$$ — парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет координаты $$\left(4;4\right)$$, значит минимальное значение функции равно $$4$$.

Отсюда:

• нулей функции нет, так как $$y \ge 4$$;
• отрицательных значений функция не принимает;
• убывает на $$(-\infty;4]$$, возрастает на $$[4;+\infty)$$;
• область значений: $$[4;+\infty)$$.

1) $$x(x+5)-2<4x$$

$$x^2+5x-2<4x \\ x^2+x-2<0 \\ (x+2)(x-1)<0$$

Следовательно, $$x\in(-2;1)$$.

2) $$11-(x+1)^2\le x$$

$$11-x^2-2x-1\le x \\ -x^2-3x+10\le 0 \\ x^2+3x-10\ge 0 \\ (x+5)(x-2)\ge 0$$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-5]\cup[2;+\infty)$$.

3) $$(2x+1)^2-(x+1)(x-7)\le 5$$

$$4x^2+4x+1-(x^2-6x-7)\le 5 \\ 3x^2+10x+8\le 5 \\ 3x^2+10x+3\le 0 \\ (3x+1)(x+3)\le 0$$

Следовательно, $$x\in[-3;-\tfrac13]$$.

4) $$5x(x+4)-(2x-3)(2x+3)>30$$

$$5x^2+20x-(4x^2-9)>30 \\ x^2+20x-21>0 \\ (x+21)(x-1)>0$$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-21)\cup(1;+\infty)$$.

5) $$(3x-7)(x+2)-(x-4)(x+5)>30$$

$$3x^2-x-14-(x^2+x-20)>30 \\ 2x^2-2x+6>30 \\ 2x^2-2x-24>0 \\ x^2-x-12>0 \\ (x+3)(x-4)>0$$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-3)\cup(4;+\infty)$$.

6) $$\dfrac{2x^2-1}{4}-\dfrac{3-4x}{6}+\dfrac{8x-5}{8}\le \dfrac{19}{24}$$

$$24\left(\dfrac{2x^2-1}{4}-\dfrac{3-4x}{6}+\dfrac{8x-5}{8}\right)\le 19 \\ 6(2x^2-1)-4(3-4x)+3(8x-5)\le 19 \\ 12x^2-6-12+16x+24x-15\le 19 \\ 12x^2+40x-52\le 0 \\ 3x^2+10x-13\le 0 \\ (3x+13)(x-1)\le 0$$

Следовательно, $$x\in\left[-\dfrac{13}{3};1\right]$$.

Ответ

1) нулей нет; отрицательных значений нет; убывает на $$(-\infty;4]$$, возрастает на $$[4;+\infty)$$; $$E(y)=[4;+\infty)$$.

2) $$(-2;1)$$.

3) $$(-\infty;-5]\cup[2;+\infty)$$.

4) $$[-3;-\tfrac13]$$.

5) $$(-\infty;-21)\cup(1;+\infty)$$.

6) $$(-\infty;-3)\cup(4;+\infty)$$.

7) $$\left[-\dfrac{13}{3};1\right]$$.