Упр.408 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;
3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
4) область значений функции. Решите неравенство:
1) х(х + 5) — 2 < 4х; 2) 11 - (х + 1)^2 <= х; 3) (2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) <= 5; 4) 5х(х + 4) - (2х - 3)(2х + 3) > 30;
5) (Зх — 7)(х + 2) — (х — 4)(х + 5) > 30;
6) (2х^2 — 1)/4 — (3 — 4х)/6 + (8х — 5)/8 <= 19/24.

Подробный ответ

Функция $$y=(x-4)^2+4$$ — парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет координаты $$\left(4;4\right)$$, значит минимальное значение функции равно $$4$$.

Отсюда:

нулей функции нет, так как $$y \ge 4$$;
отрицательных значений функция не принимает;
убывает на $$(-\infty;4]$$, возрастает на $$[4;+\infty)$$;
область значений: $$[4;+\infty)$$.

1) $$x(x+5)-2<4x$$

$$ x^2+5x-2<4x \\ x^2+x-2<0 \\ (x+2)(x-1)<0 $$

Следовательно, $$x\in(-2;1)$$.

2) $$11-(x+1)^2\le x$$

$$ 11-x^2-2x-1\le x \\ -x^2-3x+10\le 0 \\ x^2+3x-10\ge 0 \\ (x+5)(x-2)\ge 0 $$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-5]\cup[2;+\infty)$$.

3) $$(2x+1)^2-(x+1)(x-7)\le 5$$

$$ 4x^2+4x+1-(x^2-6x-7)\le 5 \\ 3x^2+10x+8\le 5 \\ 3x^2+10x+3\le 0 \\ (3x+1)(x+3)\le 0 $$

Следовательно, $$x\in[-3;-\tfrac13]$$.

4) $$5x(x+4)-(2x-3)(2x+3)>30$$

$$ 5x^2+20x-(4x^2-9)>30 \\ x^2+20x-21>0 \\ (x+21)(x-1)>0 $$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-21)\cup(1;+\infty)$$.

5) $$(3x-7)(x+2)-(x-4)(x+5)>30$$

$$ 3x^2-x-14-(x^2+x-20)>30 \\ 2x^2-2x+6>30 \\ 2x^2-2x-24>0 \\ x^2-x-12>0 \\ (x+3)(x-4)>0 $$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-3)\cup(4;+\infty)$$.

6) $$\dfrac{2x^2-1}{4}-\dfrac{3-4x}{6}+\dfrac{8x-5}{8}\le \dfrac{19}{24}$$

$$ 24\left(\dfrac{2x^2-1}{4}-\dfrac{3-4x}{6}+\dfrac{8x-5}{8}\right)\le 19 \\ 6(2x^2-1)-4(3-4x)+3(8x-5)\le 19 \\ 12x^2-6-12+16x+24x-15\le 19 \\ 12x^2+40x-52\le 0 \\ 3x^2+10x-13\le 0 \\ (3x+13)(x-1)\le 0 $$

Следовательно, $$x\in\left[-\dfrac{13}{3};1\right]$$.