Упр.407 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$y=(x+5)^2-9$$. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;
3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
4) область значений функции. - Найдите множество решений неравенства:
1) $$x^2>1$$;
2) $$x^2<3$$;
3) $$-3x^2\geq-12x$$;
4) $$-2x^2<-128$$.
1) Для функции $$y=(x+5)^2-9$$ вершина параболы находится в точке $$(-5;\,-9)$$, ветви направлены вверх.
Нули функции найдём из уравнения:
$$(x+5)^2-9=0 \\ (x+5)^2=9 \\ x+5=\pm 3$$
Отсюда:
$$x=-8 \text{ или } x=-2.$$
Так как парабола направлена вверх, то $$y>0$$ вне промежутка между корнями:
$$x<-8 \text{ или } x>-2.$$
Функция убывает до вершины и возрастает после неё:
убывает на $$(-\infty;\,-5]$$, возрастает на $$[-5;\,+\infty).$$
Минимальное значение функции равно $$-9$$, значит область значений:
$$E(y)=[-9;\,+\infty).$$
2) Решим неравенства.
$$x^2>1$$
$$x^2-1>0 \\ (x-1)(x+1)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$x<-1 \text{ или } x>1.$$
$$x^2<3$$
$$x^2-3<0 \\ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})<0$$
Отсюда:
$$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}.$$
$$-3x^2\ge -12x$$
$$3x^2\le 12x \\ 3x^2-12x\le 0 \\ 3x(x-4)\le 0$$
Произведение не положительно на отрезке между корнями:
$$0\le x\le 4.$$
$$-2x^2<-128$$
$$2x^2>128 \\ x^2>64 \\ (x-8)(x+8)>0$$
Следовательно:
$$x<-8 \text{ или } x>8.$$
Ответ
1) $$x=-8,\,-2$$; $$y>0$$ при $$x<-8$$ или $$x>-2$$; убывает на $$(-\infty;\,-5]$$, возрастает на $$[-5;\,+\infty)$$; $$E(y)=[-9;\,+\infty).$$
2) $$(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$; $$(-\sqrt{3};\,\sqrt{3})$$; $$[0;\,4]$$; $$(-\infty;\,-8)\cup(8;\,+\infty).$$
