Упр.407 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;
3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
4) область значений функции. Найдите множество решений неравенства:
1) х^2 > 1;
2) х^2 < 3; 3) -Зх^2 >= -12х;
4) -2х^2 < -128.

1) Для функции $$y=(x+5)^2-9$$ вершина параболы находится в точке $$(-5;\,-9)$$, ветви направлены вверх.

Нули функции найдём из уравнения:

$$ (x+5)^2-9=0 \\ (x+5)^2=9 \\ x+5=\pm 3 $$

Отсюда:

$$x=-8 \text{ или } x=-2.$$

Так как парабола направлена вверх, то $$y>0$$ вне промежутка между корнями:

$$x<-8 \text{ или } x>-2.$$

Функция убывает до вершины и возрастает после неё:

убывает на $$(-\infty;\,-5]$$, возрастает на $$[-5;\,+\infty).$$

Минимальное значение функции равно $$-9$$, значит область значений:

$$E(y)=[-9;\,+\infty).$$

2) Решим неравенства.

$$x^2>1$$

$$ x^2-1>0 \\ (x-1)(x+1)>0 $$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<-1 \text{ или } x>1.$$

$$x^2<3$$

$$ x^2-3<0 \\ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})<0 $$

Отсюда:

$$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}.$$

$$-3x^2\ge -12x$$

$$ 3x^2\le 12x \\ 3x^2-12x\le 0 \\ 3x(x-4)\le 0 $$

Произведение не положительно на отрезке между корнями:

$$0\le x\le 4.$$

$$-2x^2<-128$$

$$ 2x^2>128 \\ x^2>64 \\ (x-8)(x+8)>0 $$

Следовательно:

$$x<-8 \text{ или } x>8.$$

Ответ

1) $$x=-8,\,-2$$; $$y>0$$ при $$x<-8$$ или $$x>-2$$; убывает на $$(-\infty;\,-5]$$, возрастает на $$[-5;\,+\infty)$$; $$E(y)=[-9;\,+\infty).$$

2) $$(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$; $$(-\sqrt{3};\,\sqrt{3})$$; $$[0;\,4]$$; $$(-\infty;\,-8)\cup(8;\,+\infty).$$