Упр.405 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=x^2$$. Используя этот график, постройте график функции:
1) $$y=x^2-3$$;
2) $$y=x^2+4$$;
3) $$y=(x-5)^2$$;
4) $$y=(x+2)^2$$;
5) $$y=(x-1)^2+2$$;
6) $$y=(x+3)^2-2$$.
Решите неравенство:
1) $$x^2+4x+3>0$$;
2) $$x^2-3x+2\leqslant0$$;
3) $$-x^2+12x+45<0$$;
4) $$-3x^2-5x-2\geqslant0$$;
5) $$x^2-5x>0$$;
6) $$-25x^2+16\leqslant0$$;
7) $$5x^2-3x+1\geqslant0$$;
8) $$-3x^2+6x-4>0$$;
9) $$-x^2-2x+3\leqslant0$$;
10) $$-x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{36}>0$$;
11) $$2x^2-2x+0{,}5<0$$.

Подробный ответ

Пусть дана базовая функция $$y=x^2.$$ Тогда графики остальных функций получаются сдвигами параболы $$y=x^2$$.

$$y=x^2-3$$ — сдвиг вниз на 3.
$$y=x^2+4$$ — сдвиг вверх на 4.
$$y=(x-5)^2$$ — сдвиг вправо на 5.
$$y=(x+2)^2$$ — сдвиг влево на 2.
$$y=(x-1)^2+2$$ — сдвиг вправо на 1 и вверх на 2.
$$y=(x+3)^2-2$$ — сдвиг влево на 3 и вниз на 2.

Решим неравенства.

$$x^2+4x+3>0$$

$$x^2+4x+3=(x+3)(x+1)$$

$$(x+3)(x+1)>0$$

Отсюда
$$x<-3 \text{ или } x>-1.$$
$$x^2-3x+2\le 0$$

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

$$(x-1)(x-2)\le 0$$

Отсюда
$$1\le x\le 2.$$
$$-x^2+12x+45<0$$

Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2-12x-45>0$$

$$x^2-12x-45=(x-15)(x+3)$$

$$(x-15)(x+3)>0$$

Отсюда
$$x<-3 \text{ или } x>15.$$
$$-3x^2-5x-2\ge 0$$

Умножим на $$-1$$:
$$3x^2+5x+2\le 0$$

$$3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1)$$

$$(3x+2)(x+1)\le 0$$

Отсюда
$$-1\le x\le -\frac{2}{3}.$$
$$x^2-5x>0$$

$$x(x-5)>0$$

Отсюда
$$x<0 \text{ или } x>5.$$
$$-25x^2+16\le 0$$

$$25x^2-16\ge 0$$

$$(5x-4)(5x+4)\ge 0$$

Отсюда
$$x\le -\frac{4}{5} \text{ или } x\ge \frac{4}{5}.$$
$$5x^2-3x+1\ge 0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0$$

Так как $$a>0$$ и корней нет, то выражение всегда положительно.

Следовательно,
$$x\in \mathbb{R}.$$
$$-3x^2+6x-4>0$$

Умножим на $$-1$$:
$$3x^2-6x+4<0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12<0$$

При $$a>0$$ и $$D<0$$ выражение всегда положительно, значит неравенство решений не имеет.
$$-x^2-2x+3\le 0$$

Умножим на $$-1$$:
$$x^2+2x-3\ge 0$$

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$

$$(x+3)(x-1)\ge 0$$

Отсюда
$$x\le -3 \text{ или } x\ge 1.$$
$$-x^2+\frac13x-\frac1{36}>0$$

Умножим на $$-36$$:
$$36x^2-12x+1<0$$

$$36x^2-12x+1=(6x-1)^2$$

Получаем
$$(6x-1)^2<0,$$

что невозможно.
$$2x^2-2x+0{,}5<0$$

Умножим на $$2$$:
$$4x^2-4x+1<0$$

$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$

Получаем
$$(2x-1)^2<0,$$

что невозможно.

Ответ

1) $$y=x^2-3$$; 2) $$y=x^2+4$$; 3) $$y=(x-5)^2$$; 4) $$y=(x+2)^2$$; 5) $$y=(x-1)^2+2$$; 6) $$y=(x+3)^2-2$$.

1) $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$; 2) $$[1;2]$$; 3) $$(-\infty;-3)\cup(15;+\infty)$$; 4) $$[-1;-\frac23]$$; 5) $$(-\infty;0)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;-\frac45]\cup[\frac45;+\infty)$$; 7) $$\mathbb{R}$$; 8) $$\varnothing$$; 9) $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$; 10) $$\varnothing$$; 11) $$\varnothing$$.