Упр.405 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) y = х^2 — 3;
2) y = х^2 + 4;
3) у = (х — 5)^2;
4) y = (х + 2)^2;
5) y = (х — 1)^2 + 2;
6) y = (х + З)^2 — 2. Решите неравенство:
1) х^2 + 4х + 3 > 0;
2) х^2 — 3x + 2 <= 0; 3) -х^2 + 12х + 45 < 0; 4) -Зх^2 - 5х - 2 >= 0;
5) х^2 — 5х > 0;
6) -25x^2 + 16 <= 0; 7) 5х^2 - Зх + 1 >= 0;
8) -Зх^2 + 6х — 4 > 0;
9) -х^2 — 2х + 3 <= 0; 10) -х^2 + 1/3х - 1/36 > 0;
11) 2x^2 — 2x + 0,5 < 0.

Пусть дана базовая функция $$y=x^2.$$ Тогда графики остальных функций получаются сдвигами параболы $$y=x^2$$.

1. $$y=x^2-3$$ — сдвиг вниз на 3.
2. $$y=x^2+4$$ — сдвиг вверх на 4.
3. $$y=(x-5)^2$$ — сдвиг вправо на 5.
4. $$y=(x+2)^2$$ — сдвиг влево на 2.
5. $$y=(x-1)^2+2$$ — сдвиг вправо на 1 и вверх на 2.
6. $$y=(x+3)^2-2$$ — сдвиг влево на 3 и вниз на 2.

Решим неравенства.

1. $$x^2+4x+3>0$$
   
   $$x^2+4x+3=(x+3)(x+1)$$
   
   $$ (x+3)(x+1)>0 $$
   
   Отсюда
   $$x<-3 \text{ или } x>-1.$$
2. $$x^2-3x+2\le 0$$
   
   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
   
   $$ (x-1)(x-2)\le 0 $$
   
   Отсюда
   $$1\le x\le 2.$$
3. $$-x^2+12x+45<0$$
   
   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
   $$x^2-12x-45>0$$
   
   $$x^2-12x-45=(x-15)(x+3)$$
   
   $$ (x-15)(x+3)>0 $$
   
   Отсюда
   $$x<-3 \text{ или } x>15.$$
4. $$-3x^2-5x-2\ge 0$$
   
   Умножим на $$-1$$:
   $$3x^2+5x+2\le 0$$
   
   $$3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1)$$
   
   $$ (3x+2)(x+1)\le 0 $$
   
   Отсюда
   $$-1\le x\le -\frac{2}{3}.$$
5. $$x^2-5x>0$$
   
   $$x(x-5)>0$$
   
   Отсюда
   $$x<0 \text{ или } x>5.$$
6. $$-25x^2+16\le 0$$
   
   $$25x^2-16\ge 0$$
   
   $$ (5x-4)(5x+4)\ge 0 $$
   
   Отсюда
   $$x\le -\frac{4}{5} \text{ или } x\ge \frac{4}{5}.$$
7. $$5x^2-3x+1\ge 0$$
   
   $$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0$$
   
   Так как $$a>0$$ и корней нет, то выражение всегда положительно.
   
   Следовательно,
   $$x\in \mathbb{R}.$$
8. $$-3x^2+6x-4>0$$
   
   Умножим на $$-1$$:
   $$3x^2-6x+4<0$$
   
   $$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12<0$$
   
   При $$a>0$$ и $$D<0$$ выражение всегда положительно, значит неравенство решений не имеет.
9. $$-x^2-2x+3\le 0$$
   
   Умножим на $$-1$$:
   $$x^2+2x-3\ge 0$$
   
   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$
   
   $$ (x+3)(x-1)\ge 0 $$
   
   Отсюда
   $$x\le -3 \text{ или } x\ge 1.$$
10. $$-x^2+\frac13x-\frac1{36}>0$$
    
    Умножим на $$-36$$:
    $$36x^2-12x+1<0$$
    
    $$36x^2-12x+1=(6x-1)^2$$
    
    Получаем
    $$(6x-1)^2<0,$$
    
    что невозможно.
11. $$2x^2-2x+0{,}5<0$$
    
    Умножим на $$2$$:
    $$4x^2-4x+1<0$$
    
    $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$
    
    Получаем
    $$(2x-1)^2<0,$$
    
    что невозможно.

Ответ

1) $$y=x^2-3$$; 2) $$y=x^2+4$$; 3) $$y=(x-5)^2$$; 4) $$y=(x+2)^2$$; 5) $$y=(x-1)^2+2$$; 6) $$y=(x+3)^2-2$$.

1) $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$; 2) $$[1;2]$$; 3) $$(-\infty;-3)\cup(15;+\infty)$$; 4) $$[-1;-\frac23]$$; 5) $$(-\infty;0)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;-\frac45]\cup[\frac45;+\infty)$$; 7) $$\mathbb{R}$$; 8) $$\varnothing$$; 9) $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$; 10) $$\varnothing$$; 11) $$\varnothing$$.