Упр.404 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) у = (х + 10)^2 — 16;
2) у = (х — 11)^2 + 15;
3) у = (х + 15)^2 + 4;
4) у = (х — 11)^2 — 9? Решите неравенство:
1) х2 + 6х — 7 < 0;
2) х^2 - 2х - 48 >= 0;
3) -х^2 — 6х — 5 > 0;
4) -х^2 + 4х — 3 < 0;
5) Зх^2 - 7х + 4 <= 0;
6) 2х^2 + Зх + 1 > 0;
7) 4х^2 — 12х <= 0;
8) 4х^2 - 9 > 0;
9) х^2 — 12х + 36 > 0;
10) 4х^2 — 12х + 9 >= 0;
11) х^2 + 4х + 4 <0;
12) 49х^2 - 14х + 1 <= 0;
13) 2х^2 - х + 3 > 0;
14) Зх^2- 4х + 5 <= 0;
15) -4x^2 + 5х - 7 > 0;
16) -2х^2 + Зх — 2 <= 0.
1) Для параболы $$y=(x-a)^2+b$$ вершина имеет координаты $$\left(a;\,b\right).$$
1) $$y=(x+10)^2-16$$, значит вершина $$(-10;\,-16)$$ — III четверть.
2) $$y=(x-11)^2+15$$, значит вершина $$\left(11;\,15\right)$$ — I четверть.
3) $$y=(x+15)^2+4$$, значит вершина $$(-15;\,4)$$ — II четверть.
4) $$y=(x-11)^2-9$$, значит вершина $$\left(11;\,-9\right)$$ — IV четверть.
2) Решим неравенства.
- $$x^2+6x-7<0$$
$$D=6^2-4\cdot1\cdot(-7)=64$$
$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in(-7;\,1).$$ - $$x^2-2x-48\ge 0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-48)=196$$
$$x_1=\frac{2-14}{2}=-6,\quad x_2=\frac{2+14}{2}=8$$
Тогда
$$x\in(-\infty;\,-6]\cup[8;\,+\infty).$$ - $$-x^2-6x-5>0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2+6x+5<0$$
$$D=6^2-4\cdot1\cdot5=16$$
$$x_1=\frac{-6-4}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-6+4}{2}=-1$$
Тогда
$$x\in(-5;\,-1).$$ - $$-x^2+4x-3<0$$
Умножим на $$-1$$:
$$x^2-4x+3>0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
Тогда
$$x\in(-\infty;\,1)\cup(3;\,+\infty).$$ - $$3x^2-7x+4\le 0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=1$$
$$x_1=\frac{7-1}{6}=1,\quad x_2=\frac{7+1}{6}=\frac43$$
Тогда
$$x\in\left[1;\,\frac43\right].$$ - $$2x^2+3x+1>0$$
$$D=3^2-4\cdot2\cdot1=1$$
$$x_1=\frac{-3-1}{4}=-1,\quad x_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac12$$
Тогда
$$x\in(-\infty;\,-1)\cup\left(-\frac12;\,+\infty\right).$$ - $$4x^2-12x\le 0$$
$$4x(x-3)\le 0$$
Отсюда
$$x\in[0;\,3].$$ - $$4x^2-9>0$$
$$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$$
Тогда
$$x\in(-\infty;\,-\frac32)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right).$$ - $$x^2-12x+36>0$$
$$x^2-12x+36=(x-6)^2$$
Квадрат числа больше нуля при всех $$x$$, кроме $$x=6$$:
$$x\in(-\infty;\,6)\cup(6;\,+\infty).$$ - $$4x^2-12x+9\ge 0$$
$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$
Квадрат числа неотрицателен при всех $$x$$:
$$x\in(-\infty;\,+\infty).$$ - $$x^2+4x+4<0$$
$$x^2+4x+4=(x+2)^2$$
Квадрат числа не может быть меньше нуля, значит решений нет. - $$49x^2-14x+1\le 0$$
$$49x^2-14x+1=(7x-1)^2$$
Тогда
$$x=\frac17.$$ - $$2x^2-x+3>0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot3=-23<0$$
Так как $$a>0$$ и корней нет, то выражение положительно при всех $$x$$:
$$x\in(-\infty;\,+\infty).$$ - $$3x^2-4x+5\le 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot3\cdot5=-44<0$$
Так как $$a>0$$ и корней нет, то решений нет. - $$-4x^2+5x-7>0$$
Умножим на $$-1$$:
$$4x^2-5x+7<0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot4\cdot7=-87<0$$
Так как $$a>0$$ и корней нет, то решений нет. - $$-2x^2+3x-2\le 0$$
Умножим на $$-1$$:
$$2x^2-3x+2\ge 0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot2\cdot2=-7<0$$
Так как $$a>0$$ и корней нет, то неравенство верно при всех $$x$$:
$$x\in(-\infty;\,+\infty).$$
Ответ
1) III; 2) I; 3) II; 4) IV.
1) $$x\in(-7;\,1)$$; 2) $$x\in(-\infty;\,-6]\cup[8;\,+\infty)$$; 3) $$x\in(-5;\,-1)$$; 4) $$x\in(-\infty;\,1)\cup(3;\,+\infty)$$; 5) $$x\in\left[1;\,\frac43\right]$$; 6) $$x\in(-\infty;\,-1)\cup\left(-\frac12;\,+\infty\right)$$; 7) $$x\in[0;\,3]$$; 8) $$x\in(-\infty;\,-\frac32)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right)$$; 9) $$x\in(-\infty;\,6)\cup(6;\,+\infty)$$; 10) $$x\in(-\infty;\,+\infty)$$; 11) решений нет; 12) $$x=\frac17$$; 13) $$x\in(-\infty;\,+\infty)$$; 14) решений нет; 15) решений нет; 16) $$x\in(-\infty;\,+\infty)$$.
