Упр.403 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Каковы координаты вершины параболы: 1) $$y=x^2+8$$; 2) $$y=x^2-8$$; 3) $$y=(x+8)^2$$; 4) $$y=(x-8)^2$$; 5) $$y=(x-4)^2+3$$; 6) $$y=(x+4)^2+3$$; 7) $$y=(x-4)^2-3$$; 8) $$y=(x+4)^2-3$$?
2. На рисунке 80 изображён график функции $$y=-x^2+2x-2$$. Найдите множество решений неравенства: 1) $$-x^2+2x-2<0$$; 2) $$-x^2+2x-2\leq 0$$; 3) $$-x^2+2x-2>0$$; 4) $$-x^2+2x-2\geq 0$$.

1. Для параболы вида $$y=(x-a)^2+b$$ вершина имеет координаты $$\left(a;\,b\right).$$

   Тогда:

   1) $$y=x^2+8$$, вершина $$\left(0;\,8\right);$$

   2) $$y=x^2-8$$, вершина $$\left(0;\,-8\right);$$

   3) $$y=(x+8)^2$$, вершина $$\left(-8;\,0\right);$$

   4) $$y=(x-8)^2$$, вершина $$\left(8;\,0\right);$$

   5) $$y=(x-4)^2+3$$, вершина $$\left(4;\,3\right);$$

   6) $$y=(x+4)^2+3$$, вершина $$\left(-4;\,3\right);$$

   7) $$y=(x-4)^2-3$$, вершина $$\left(4;\,-3\right);$$

   8) $$y=(x+4)^2-3$$, вершина $$\left(-4;\,-3\right).$$

2. Рассмотрим функцию

   $$y=-x^2+2x-2.$$

   Приведём её к виду полного квадрата:

   $$-x^2+2x-2=-(x^2-2x+2)= -\bigl((x-1)^2+1\bigr)=-(x-1)^2-1.$$

   Так как $$(x-1)^2 \ge 0,$$ то

   $$-(x-1)^2-1<0$$ при всех $$x.$$

   Значит, неравенство $$-x^2+2x-2<0$$ выполняется при всех действительных $$x,$$ а неравенство $$-x^2+2x-2\le 0$$ тоже выполняется при всех действительных $$x.$$

   Неравенства $$-x^2+2x-2>0$$ и $$-x^2+2x-2\ge 0$$ решений не имеют.

Ответ

1) $$\left(0;\,8\right),\ \left(0;\,-8\right),\ \left(-8;\,0\right),\ \left(8;\,0\right),\ \left(4;\,3\right),\ \left(-4;\,3\right),\ \left(4;\,-3\right),\ \left(-4;\,-3\right);$$ 2) $$(-\infty;\,+\infty);$$ 3) $$(-\infty;\,+\infty);$$ 4) $$\varnothing.$$