Упр.395 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\frac{\frac{m-n}{m^2+mn}-\frac{m}{mn+n^2}}{\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac{1}{m+n}}=\frac{n-m}{n}$$.
2. Упростите выражение: 1) $$(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})(4a-6\sqrt{ab}+9b)-9\sqrt{9b^3}$$.

1. $$\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)\left(4a-6\sqrt{ab}+9b\right)-9\sqrt{9b^3}$$

   Заметим, что
   $$4a=(2\sqrt{a})^2,\quad 6\sqrt{ab}=2\cdot 2\sqrt{a}\cdot 3\sqrt{b},\quad 9b=(3\sqrt{b})^2.$$
   Тогда
   $$\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)\left(4a-6\sqrt{ab}+9b\right)=\left(2\sqrt{a}\right)^3+\left(3\sqrt{b}\right)^3.$$

   Кроме того,
   $$9\sqrt{9b^3}=9\cdot 3b\sqrt{b}=27b\sqrt{b}.$$
   Поэтому
   $$\left(2\sqrt{a}\right)^3+\left(3\sqrt{b}\right)^3-27b\sqrt{b} =8a\sqrt{a}+27b\sqrt{b}-27b\sqrt{b} =8a\sqrt{a}.$$

2. $$\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{28}+4\sqrt{63}\right)\cdot \sqrt{7}-\sqrt{126}$$

   Упростим корни:
   $$\sqrt{28}=2\sqrt{7},\quad \sqrt{63}=3\sqrt{7},\quad \sqrt{126}=3\sqrt{14}.$$
   Тогда
   $$\left(3\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{7}+4\cdot 3\sqrt{7}\right)\sqrt{7}-3\sqrt{14}$$
   $$=\left(3\sqrt{2}+8\sqrt{7}\right)\sqrt{7}-3\sqrt{14} =3\sqrt{14}+56-3\sqrt{14} =56.$$

3. $$\left(2-\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)$$

   Обозначим $$x=\sqrt{3}-\sqrt{6}.$$ Тогда
   $$\left(2-\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right) =(2-x)(2+x)=4-x^2.$$
   Найдём $$x^2$$:
   $$x^2=\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)^2=3-2\sqrt{18}+6=9-6\sqrt{2}.$$
   Значит,
   $$4-x^2=4-(9-6\sqrt{2})=6\sqrt{2}-5.$$

Ответ

1) $$8a\sqrt{a}$$; 2) $$56$$; 3) $$6\sqrt{2}-5$$.