Упр.395 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

((m — n)/(m^2 + mn) — m/(mn + n^2)) / (n^2 / (m^3 — mn^2) + 1/(m + n)) = (n — m)/n. Упростите выражение:
1) (2корень(a) + 3корень(b))(4a — 6корень(ab) + 9b) — 9корень(9b^3);

Подробный ответ

$$\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)\left(4a-6\sqrt{ab}+9b\right)-9\sqrt{9b^3}$$
Заметим, что
$$4a=(2\sqrt{a})^2,\quad 6\sqrt{ab}=2\cdot 2\sqrt{a}\cdot 3\sqrt{b},\quad 9b=(3\sqrt{b})^2.$$
Тогда
$$\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)\left(4a-6\sqrt{ab}+9b\right)=\left(2\sqrt{a}\right)^3+\left(3\sqrt{b}\right)^3.$$
Кроме того,
$$9\sqrt{9b^3}=9\cdot 3b\sqrt{b}=27b\sqrt{b}.$$
Поэтому
$$ \left(2\sqrt{a}\right)^3+\left(3\sqrt{b}\right)^3-27b\sqrt{b} =8a\sqrt{a}+27b\sqrt{b}-27b\sqrt{b} =8a\sqrt{a}. $$
$$\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{28}+4\sqrt{63}\right)\cdot \sqrt{7}-\sqrt{126}$$
Упростим корни:
$$\sqrt{28}=2\sqrt{7},\quad \sqrt{63}=3\sqrt{7},\quad \sqrt{126}=3\sqrt{14}.$$
Тогда
$$ \left(3\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{7}+4\cdot 3\sqrt{7}\right)\sqrt{7}-3\sqrt{14} $$
$$ =\left(3\sqrt{2}+8\sqrt{7}\right)\sqrt{7}-3\sqrt{14} =3\sqrt{14}+56-3\sqrt{14} =56. $$
$$\left(2-\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)$$
Обозначим $$x=\sqrt{3}-\sqrt{6}.$$ Тогда
$$ \left(2-\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right) =(2-x)(2+x)=4-x^2. $$
Найдём $$x^2$$:
$$ x^2=\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)^2=3-2\sqrt{18}+6=9-6\sqrt{2}. $$
Значит,
$$ 4-x^2=4-(9-6\sqrt{2})=6\sqrt{2}-5. $$