Упр.392 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   $$y=\begin{cases} 2, & x<-1,\\ 2x^2, & -10. \end{cases}$$
   Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
2. Решите уравнение:
   
   1) $$x^4-13x^2+36=0$$;
   
   2) $$x^4-5x^2-6=0$$;
   
   3) $$x^4+9x^2+8=0$$;
   
   4) $$x^4-16x^2=0$$.

Построим график функции

$$y= \begin{cases} -2, & \text{если } x<-1,\\ -2x^2, & \text{если } -1\le x\le 0,\\ 2x^2, & \text{если } x>0. \end{cases}$$

При $$x<-1$$ график — горизонтальная прямая $$y=-2$$. На отрезке $$[-1;0]$$ это ветвь параболы $$y=-2x^2$$, а при $$x>0$$ — ветвь параболы $$y=2x^2$$.

По графику видно:

• функция постоянна на $$(-\infty;\,-1]$$;
• функция возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$;
• промежутков убывания нет.

Решим уравнения.

1) $$x^4-13x^2+36=0$$

Сделаем замену $$x^2=t$$. Тогда

$$t^2-13t+36=0$$

$$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25$$

$$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$$

$$t_1=4,\quad t_2=9$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$

2) $$x^4-5x^2-6=0$$

Положим $$x^2=t$$. Тогда

$$t^2-5t-6=0$$

$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$t_1=-1,\quad t_2=6$$

Значение $$t=-1$$ не подходит, так как $$x^2\ge 0$$. Поэтому

$$x^2=6 \Rightarrow x=\pm \sqrt{6}$$

3) $$x^4+9x^2+8=0$$

Положим $$x^2=t$$. Тогда

$$t^2+9t+8=0$$

$$D=9^2-4\cdot 8=81-32=49$$

$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{2}$$

$$t_1=-1,\quad t_2=-8$$

Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Корней нет.

4) $$x^4-16x^2=0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(x^2-16)=0$$

Отсюда

$$x^2=0 \Rightarrow x=0,\qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4$$

Ответ

Промежутки: постоянна на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$, убывания нет.

1) $$x=-3,\,-2,\,2,\,3$$; 2) $$x=-\sqrt{6},\,\sqrt{6}$$; 3) корней нет; 4) $$x=-4,\,0,\,4$$.