Упр.392 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

y =
система
2, если х < -1, 2х^2, если -1 < х < 0, 2х^2, если х > 0.
Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Решите уравнение:
1) х^4 -13х^2 + 36 = 0;
2) х^4 — 5х^2 — 6 = 0;
3) х^4 + 9х^2 + 8 = 0;
4) х^4 — 16x^2 = 0.

Построим график функции

$$ y= \begin{cases} -2, & \text{если } x<-1,\\ -2x^2, & \text{если } -1\le x\le 0,\\ 2x^2, & \text{если } x>0. \end{cases} $$

При $$x<-1$$ график — горизонтальная прямая $$y=-2$$. На отрезке $$[-1;0]$$ это ветвь параболы $$y=-2x^2$$, а при $$x>0$$ — ветвь параболы $$y=2x^2$$.

По графику видно:

• функция постоянна на $$(-\infty;\,-1]$$;
• функция возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$;
• промежутков убывания нет.

Решим уравнения.

1) $$x^4-13x^2+36=0$$

Сделаем замену $$x^2=t$$. Тогда

$$ t^2-13t+36=0 $$

$$ D=13^2-4\cdot 36=169-144=25 $$

$$ t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2} $$

$$ t_1=4,\quad t_2=9 $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 $$

2) $$x^4-5x^2-6=0$$

Положим $$x^2=t$$. Тогда

$$ t^2-5t-6=0 $$

$$ D=5^2+4\cdot 6=25+24=49 $$

$$ t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2} $$

$$ t_1=-1,\quad t_2=6 $$

Значение $$t=-1$$ не подходит, так как $$x^2\ge 0$$. Поэтому

$$ x^2=6 \Rightarrow x=\pm \sqrt{6} $$

3) $$x^4+9x^2+8=0$$

Положим $$x^2=t$$. Тогда

$$ t^2+9t+8=0 $$

$$ D=9^2-4\cdot 8=81-32=49 $$

$$ t_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{2} $$

$$ t_1=-1,\quad t_2=-8 $$

Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Корней нет.

4) $$x^4-16x^2=0$$

Вынесем общий множитель:

$$ x^2(x^2-16)=0 $$

Отсюда

$$ x^2=0 \Rightarrow x=0,\qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4 $$

Ответ

Промежутки: постоянна на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$, убывания нет.

1) $$x=-3,\,-2,\,2,\,3$$; 2) $$x=-\sqrt{6},\,\sqrt{6}$$; 3) корней нет; 4) $$x=-4,\,0,\,4$$.