Упр.379 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй.
За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?
Парабола у = ах^2 + bх + с имеет вершину в точке C(4; -10) и проходит через точку D(1; -1). Найдите значения коэффициентов а, b и с.

Обозначим время, за которое первый экскаватор выполнит работу самостоятельно, через $$x$$ ч, а второй — через $$y$$ ч.

Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ работы в час. По условию первый экскаватор работает в 4 раза быстрее второго, значит

$$\frac{1}{x}=4\cdot \frac{1}{y}, \quad y=4x.$$

Вместе экскаваторы выполнили работу за 8 ч, поэтому

$$8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1.$$

Подставим $$y=4x$$:

$$ 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4x}\right)=1 \\ 8\cdot \frac{5}{4x}=1 \\ \frac{10}{x}=1 \\ x=10. $$

Тогда

$$y=4x=40.$$

Теперь найдём коэффициенты параболы $$y=ax^2+bx+c$$. Вершина $$C(4;-10)$$, значит

$$x_0=-\frac{b}{2a}=4,$$

откуда

$$b=-8a.$$

Так как график проходит через точку $$D(1;-1)$$, получаем

$$a+b+c=-1.$$

Координаты вершины удовлетворяют уравнению параболы:

$$16a+4b+c=-10.$$

Подставим $$b=-8a$$ в первое уравнение:

$$a-8a+c=-1,$$

$$c=7a-1.$$

Подставим в уравнение для вершины:

$$16a+4(-8a)+c=-10,$$

$$-16a+c=-10.$$

Тогда

$$-16a+7a-1=-10,$$

$$-9a=-9,$$

$$a=1.$$

Следовательно,

$$b=-8,$$

$$c=6.$$

Ответ

Первый экскаватор — $$10$$ ч, второй — $$40$$ ч; $$a=1,\ b=-8,\ c=6.$$