Упр.376 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Для каждого значения а найдите наибольшее и наименьшее значения функции. На рисунке 64 изображён график квадратичной функции у = ах^2 + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
Функция $$f(x)=x^2$$ на промежутке $$[a;2]$$, где $$a<2$$, принимает значения в зависимости от положения точки $$a$$ относительно числа $$0$$.
Так как парабола $$y=x^2$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, то:
- если $$a<-2$$, то на отрезке $$[a;2]$$ наименьшее значение достигается в точке $$x=0$$, а наибольшее — в точке $$x=a$$;
- если $$a=-2$$, то наибольшее значение достигается в точке $$x=-2$$ и в точке $$x=2$$;
- если $$-2<a\le 0$$, то наибольшее значение достигается в точке $$x=-2$$, а наименьшее — в точке $$x=0$$;
- если $$0<a<2$$, то наименьшее значение достигается в точке $$x=a$$, а наибольшее — в точке $$x=2$$.
Следовательно:
$$ \begin{cases} a<-2: & f_{\min}=0,\quad f_{\max}=a^2;\\ a=-2: & f_{\min}=0,\quad f_{\max}=4;\\ -2<a\le 0: & f_{\min}=0,\quad f_{\max}=4;\\ 0<a<2: & f_{\min}=a^2,\quad f_{\max}=4. \end{cases} $$
По графику квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$:
- ветви параболы направлены вверх, значит $$a>0$$;
- вершина расположена правее оси $$Oy$$, значит $$-\dfrac{b}{2a}>0$$, откуда $$b<0$$;
- точка пересечения с осью $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, значит $$c<0$$.
Для второго графика:
- ветви параболы направлены вниз, значит $$a<0$$;
- вершина расположена левее оси $$Oy$$, значит $$-\dfrac{b}{2a}<0$$, откуда $$b<0$$;
- точка пересечения с осью $$Oy$$ выше оси $$Ox$$, значит $$c>0$$.
Ответ
$$ \begin{cases} a<-2: & f_{\min}=0,\ f_{\max}=a^2;\\ a=-2: & f_{\min}=0,\ f_{\max}=4;\\ -2<a\le 0: & f_{\min}=0,\ f_{\max}=4;\\ 0<a<2: & f_{\min}=a^2,\ f_{\max}=4. \end{cases} $$
Для графика 64: $$a>0,\ b<0,\ c<0$$; $$a<0,\ b<0,\ c>0$$.
