Упр.374 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

(-бескон6ечность; 0) и (0; -бесконечность) при k > 0 и возрастает на каждом из этих промежутков при k < 0. При каком значении с наибольшее значение функции у = -5x^2 + 10x + с равно -3?

Рассмотрим функцию $$y=\frac{k}{x}$$, где $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Пусть $$x_2>x_1$$. Тогда

$$\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1}=\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}.$$

На каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ числа $$x_1$$ и $$x_2$$ одного знака, значит $$x_1x_2>0$$, а так как $$x_1-x_2<0$$, то:

• при $$k>0$$ имеем $$\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}<0,$$ следовательно, функция убывает;
• при $$k<0$$ имеем $$\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}>0,$$ следовательно, функция возрастает.

Докажем вторую часть. Для функции $$y=-5x^2+10x+c$$ ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\cdot(-5)}=1.$$

Тогда наибольшее значение равно

$$y_{\max}=y(1)=-5\cdot1^2+10\cdot1+c=5+c.$$

По условию $$5+c=-3,$$ откуда

$$c=-8.$$

Ответ

Функция $$y=\frac{k}{x}$$ убывает при $$k>0$$ и возрастает при $$k<0$$ на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$; $$c=-8$$.