Упр.373 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 7/(x + 5) убывает на промежутке (-5; +бесконечность);
2) у = 6x — х^2 возрастает на промежутке (-бесконечность; 3]. При каких значениях а функция у = -4х^2 — 16x + а принимает отрицательные значения при всех действительных значениях x?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\frac{7}{x+5}.$$ На промежутке $$(-5;+\infty)$$ имеем $$x_1<x_2,$$ тогда $$x_1+5<x_2+5,$$ а значит, при положительных знаменателях
$$\frac{1}{x_1+5}>\frac{1}{x_2+5}.$$
Умножая на $$7>0,$$ получаем
$$\frac{7}{x_1+5}>\frac{7}{x_2+5}.$$
Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-5;+\infty).$$
Рассмотрим функцию $$y=6x-x^2.$$ Пусть $$x_1<x_2\le 3.$$ Тогда
$$y_1-y_2=(6x_1-x_1^2)-(6x_2-x_2^2)=6(x_1-x_2)-(x_1^2-x_2^2).$$
Вынесем разность:
$$y_1-y_2=(x_1-x_2)(6-x_1-x_2).$$
Так как $$x_1-x_2<0,$$ а $$x_1+x_2\le 6,$$ то $$6-x_1-x_2\ge 0.$$ Значит,
$$y_1-y_2\le 0,$$
то есть $$y_1\le y_2.$$ Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;3].$$
Найдём, при каких значениях $$a$$ функция $$y=-4x^2-16x+a$$ принимает отрицательные значения при всех действительных $$x.$$
Это квадратная функция, ветви параболы направлены вниз. Чтобы значения были отрицательными при всех $$x,$$ достаточно, чтобы наибольшее значение функции было меньше нуля.
Вершина параболы имеет абсциссу
$$x_0=\frac{-(-16)}{2\cdot(-4)}=-2.$$
Найдём значение функции в вершине:
$$y_{\max}= -4\cdot(-2)^2-16\cdot(-2)+a=-16+32+a=16+a.$$
Требуем:
$$16+a<0,$$
$$a<-16.$$