Упр.372 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) у = 6/(3 — x) возрастает на промежутке (3; +бесконечность);
2) у = х^2 — 4х + 3 убывает на промежутке (-бесконечность; 2]. При каких значениях а функция у = 0,5х^2 — Зх + а принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях х?

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{6}{3-x}.$$

Пусть $$x_1<x_2$$, где $$x_1,x_2\in(3;+\infty).$$ Тогда

$$3-x_1>3-x_2>0,$$

а значит, при переходе от $$x_1$$ к $$x_2$$ знаменатель уменьшается, поэтому дробь увеличивается:

$$\frac{6}{3-x_1}<\frac{6}{3-x_2}.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$\left(3;+\infty\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+3.$$

Пусть $$x_1<x_2,$$ где $$x_1,x_2\in(-\infty;2].$$ Тогда

$$x_1-2<x_2-2\le 0,$$

откуда

$$x_1^2-4x_1+3-(x_2^2-4x_2+3)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4).$$

Так как $$x_1-x_2<0$$ и $$x_1+x_2-4\le 0,$$ то

$$y_1-y_2\ge 0,$$

то есть $$y_1\ge y_2.$$ Значит, функция убывает на промежутке $$(-\infty;2].$$

3) Найдём, при каких значениях $$a$$ функция $$y=0{,}5x^2-3x+a$$ принимает неотрицательные значения при всех действительных $$x.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то для выполнения условия нужно, чтобы наименьшее значение функции было неотрицательным. Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-(-3)}{2\cdot 0{,}5}=3.$$

Тогда

$$y_{\min}=0{,}5\cdot 3^2-3\cdot 3+a=4{,}5-9+a=a-4{,}5.$$

Требуем:

$$a-4{,}5\ge 0,$$

$$a\ge 4{,}5.$$

Ответ

1) возрастает; 2) убывает; $$a\ge 4{,}5.$$