Упр.366 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=x^2+(2a-1)x+a^2+a$$ имеет два нуля?
2. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ парабола $$y=ax^2+bx-4$$ проходит через точки $$C(-3;8)$$ и $$D(1;4)$$?

1) Функция имеет два нуля, если квадратное уравнение

$$x^2+(2a-1)x+a^2+a=0$$

имеет два различных корня. Для этого дискриминант должен быть положительным:

$$D=(2a-1)^2-4(a^2+a)>0$$

$$4a^2-4a+1-4a^2-4a>0$$

$$1-8a>0$$

$$a<\frac18$$

2) Парабола $$y=ax^2+bx-4$$ проходит через точки $$C(-3;8)$$ и $$D(1;4)$$, значит, их координаты удовлетворяют уравнению.

Подставим точку $$D(1;4)$$:

$$4=a\cdot 1^2+b\cdot 1-4$$

$$a+b=8$$

Подставим точку $$C(-3;8)$$:

$$8=a\cdot (-3)^2+b\cdot (-3)-4$$

$$9a-3b=12$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=8,\\ 9a-3b=12. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=8-a$$. Подставим во второе:

$$9a-3(8-a)=12$$

$$9a-24+3a=12$$

$$12a=36$$

$$a=3$$

Тогда

$$b=8-3=5$$

Ответ

1) $$a<\frac18$$.

2) $$a=3,\ b=5$$.