Упр.365 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

система
4/x, если х < -1, x/4, если -1 <= х <= 1, 4/x, если х > 1.
Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания. При каких значениях а и b нулями функции у = ах^2 + bх + 7 являются числа -2 и 3?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x}{4}, & -1\le x\le 1,\\[4pt] \dfrac{4}{x}, & x>1. \end{cases} $$

Построим график по частям:

• при $$x<-1$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{4}{x}$$;
• при $$-1\le x\le 1$$ — отрезок прямой $$y=\dfrac{x}{4}$$;
• при $$x>1$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{4}{x}$$.

Точки $$x=-1$$ и $$x=1$$ входят только в средний участок, поэтому на графике получаем точки $$(-1,-\tfrac14)$$ и $$\left(1,\tfrac14\right)$$.

Нули функции найдём из равенства $$f(x)=0$$. На участке $$y=\dfrac{x}{4}$$ это возможно только при $$x=0$$. На участках $$y=\dfrac{4}{x}$$ нулей нет.

Знак функции:

• при $$x\in(-\infty,0)$$ функция отрицательна;
• при $$x\in(0,+\infty)$$ функция положительна.

Монотонность:

• на $$(-\infty,-1)$$ функция убывает, так как $$y=\dfrac{4}{x}$$ убывает при $$x<0$$;
• на $$[-1,1]$$ функция возрастает, так как $$y=\dfrac{x}{4}$$ возрастает;
• на $$ (1,+\infty)$$ функция убывает, так как $$y=\dfrac{4}{x}$$ убывает при $$x>0$$.

Теперь найдём коэффициенты $$a$$ и $$b$$, если числа $$-2$$ и $$3$$ — нули функции $$y=ax^2+bx+7$$.

Подставим эти значения в уравнение:

$$ \begin{cases} a(-2)^2+b(-2)+7=0,\\ a\cdot 3^2+b\cdot 3+7=0. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4a-2b+7=0,\\ 9a+3b+7=0. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:

$$ \begin{cases} 12a-6b+21=0,\\ 18a+6b+14=0. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 30a+35=0,\qquad a=-\dfrac{7}{6}. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 4\left(-\dfrac{7}{6}\right)-2b+7=0 $$

$$ -\dfrac{14}{3}-2b+7=0 $$

$$ -\dfrac{14}{3}-2b+\dfrac{21}{3}=0 $$

$$ -2b+\dfrac{7}{3}=0,\qquad b=\dfrac{7}{6}. $$

Ответ

Нули функции: $$x=0$$.
$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty,0)$$, $$f(x)>0$$ при $$x\in(0,+\infty)$$.
Функция возрастает на $$[-1,1]$$, убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (1,+\infty)$$.
$$a=-\dfrac{7}{6},\quad b=\dfrac{7}{6}.$$