Упр.364 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

система
2х + 8, если х <= -2, х^2, если -2 < х < 2, 2х + 8, если х >= 2.
Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания. При каких значениях р и q график функции у = х^2 + рх + q проходит через точки М(-1; 4) и К(2; 10)?

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 2x+8, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x<2,\\ -2x+8, & x\ge 2. \end{cases} $$

Найдём основные точки графика:

при $$x=-2$$ получаем $$f(-2)=2\cdot(-2)+8=4$$;

при $$x=0$$ имеем $$f(0)=0^2=0$$;

при $$x=2$$ получаем $$f(2)=-2\cdot 2+8=4$$.

Значит, график состоит из двух лучей прямых и части параболы $$y=x^2$$ на промежутке $$-2<x<2$$.

Нули функции найдём по каждому участку:

$$ 2x+8=0 \Rightarrow x=-4, $$

$$ x^2=0 \Rightarrow x=0, $$

$$ -2x+8=0 \Rightarrow x=4. $$

Следовательно, нули функции: $$x=-4,\;0,\;4$$.

По графику видно, что функция положительна между нулями и отрицательна вне их:

$$ f(x)>0 \text{ при } x\in(-4;0)\cup(0;4), $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty). $$

Функция возрастает на левой прямой и на левой ветви параболы, а также на правой части параболы до точки $$x=0$$:

$$ \text{возрастает на } (-\infty;-2]\cup[0;2]. $$

Убывает на правой ветви параболы и на правом луче:

$$ \text{убывает на } [-2;0]\cup[2;+\infty). $$

Для функции $$y=x^2+px+q$$, проходящей через точки $$M(-1;4)$$ и $$K(2;10)$$, составим систему:

$$ \begin{cases} (-1)^2-p+q=4,\\ 2^2+2p+q=10. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} 1-p+q=4,\\ 4+2p+q=10, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -p+q=3,\\ 2p+q=6. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 3p=3 \Rightarrow p=1. $$

Тогда

$$ -q? $$

Из $$-p+q=3$$ получаем:

$$ -1+q=3 \Rightarrow q=4. $$

Ответ

Нули функции: $$-4,\;0,\;4$$.

$$ f(x)>0 \text{ при } x\in(-4;0)\cup(0;4), $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty). $$

Возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$, убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$.

$$p=1,\quad q=4.$$