Упр.362 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) функция возрастает на промежутке [-4; -1] и убывает на промежутке [-1; 3];
2) функция убывает на промежутках [-4; -2] и [0; 3] и возрастает на промежутке [-2; 0]. Найдите наименьшее значение функции у = Зх^2 — 18x + 2 на промежутке:
1) [-1; 4];
2) [-4; 1];
3) [4; 5].

Подробный ответ

Чтобы функция возрастала на промежутке $$[-4;-1]$$ и убывала на промежутке $$[-1;3]$$, можно взять, например, параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $$(-1;0)$$:
$$f(x)=-(x+1)^2$$
Тогда на $$[-4;3]$$ функция сначала возрастает до точки $$x=-1$$, а затем убывает.
Чтобы функция убывала на промежутках $$[-4;-2]$$ и $$[0;3]$$ и возрастала на промежутке $$[-2;0]$$, можно построить график с минимумом при $$x=-2$$ и максимумом при $$x=0$$. Например, подойдёт любая функция с такой схемой изменения:
$$\downarrow \text{ на } [-4;-2], \quad \uparrow \text{ на } [-2;0], \quad \downarrow \text{ на } [0;3]$$

Найдём наименьшее значение функции $$y=3x^2-18x+2$$ на данных промежутках.

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3$$

Так как $$a=3>0$$, ветви параболы направлены вверх, значит, функция убывает при $$x\le 3$$ и возрастает при $$x\ge 3$$.

1) На промежутке $$[-1;4]$$

Минимум достигается в вершине при $$x=3$$:

$$y(3)=3\cdot 3^2-18\cdot 3+2=27-54+2=-25$$

2) На промежутке $$[-4;1]$$

Так как весь промежуток лежит левее вершины, функция убывает, значит, наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

$$y(1)=3\cdot 1^2-18\cdot 1+2=3-18+2=-13$$

3) На промежутке $$[4;5]$$

Так как весь промежуток лежит правее вершины, функция возрастает, значит, наименьшее значение достигается при $$x=4$$: