Упр.359 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) y = -4х + 8;
2) у = -х^2 — 1;
3) у = корень(х) + 2. Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:
y(x) =
система
3 — х, если х <= -2,
х^2 - 2х - 3, если -2 < х < 2,
3, если х >= 2.
$$y=-4x+8$$
Найдём, при каких значениях $$x$$ функция положительна и отрицательна:
$$-4x+8>0$$
$$-4x>-8$$
$$x<2$$Значит, $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;2)$$.
$$-4x+8<0$$
$$-4x<-8$$
$$x>2$$Значит, $$y<0$$ при $$x\in(2;+\infty)$$.
$$y=-x^2-1$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то $$-x^2\le 0$$, следовательно,
$$-x^2-1<0$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$.Значит, $$y>0$$ не бывает ни при каких $$x$$.
$$y=\sqrt{x}+2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то $$\sqrt{x}+2>0$$ при всех $$x\ge 0$$.
Значит, $$y>0$$ при $$x\in[0;+\infty)$$, а $$y<0$$ не бывает.
$$ y= \begin{cases} 3-x, & x\le -2,\\ x^2-2x-3, & -2<x<2,\\ -3, & x\ge 2. \end{cases} $$
Рассмотрим каждую часть функции.
При $$x\le -2$$ имеем $$y=3-x$$ — убывающая линейная функция.
При $$-2<x<2$$:
$$x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $$x=1$$, $$y=-4$$.При $$x\ge 2$$ функция постоянна: $$y=-3$$.
Найдём область значений:
на промежутке $$x\le -2$$ значения $$y=3-x$$ принимают все числа от $$5$$ и выше;
на промежутке $$-2<x<2$$ значения лежат от $$-4$$ до $$5$$;
на промежутке $$x\ge 2$$ имеем $$y=-3$$.Следовательно, $$E(y)=[-4;+\infty)$$.
Промежутки монотонности:
$$y=3-x$$ убывает при $$x\in(-\infty;-2]$$;
$$x^2-2x-3$$ убывает на $$(-2;1]$$ и возрастает на $$[1;2)$$;
на $$[2;+\infty)$$ функция постоянна.Значит, функция убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;2]$$ и постоянна на $$[2;+\infty)$$.
Ответ
1) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;2)$$, $$y<0$$ при $$x\in(2;+\infty)$$.
2) $$y>0$$ не бывает; $$y<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
3) $$y>0$$ при $$x\in[0;+\infty)$$, $$y<0$$ не бывает.
4) $$E(y)=[-4;+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;2]$$, постоянна на $$[2;+\infty)$$.
