Упр.357 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) f(x) = 1/3x + 12;
2) f(x) = 6х^2 + 5х + 1;
3) f(x) = корень(х^2 — 4);
4) f(х) = -5;
5) f(x) = (3 — 0,2x)/(x + 1);
6) f(x) = х^2 — x. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:
1) f(x) = 4x^2 — 8x + 3;
2) f(х) = х^2 + 2х — 6;
3) f(x) = 4 — 12x — 0,3x^2;
4) f(х) = 7х^2 + 21х.

1) Найдём нули функций, то есть решим уравнения $$f(x)=0$$.

$$\frac{1}{3}x+12=0$$
$$\frac{1}{3}x=-12$$
$$x=-36$$

$$6x^2+5x+1=0$$
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2\cdot 6}$$
$$x_1=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2},\quad x_2=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$$

$$\sqrt{x^2-4}=0$$
$$x^2-4=0$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$

$$f(x)=-5$$
Нулей нет, так как постоянная функция не принимает значение $$0$$.

$$\frac{3-0{,}2x}{x+1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$3-0{,}2x=0$$
$$0{,}2x=3$$
$$x=15,\quad x\ne -1$$

$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$

2) Найдём область значений и промежутки возрастания и убывания квадратичных функций. Для параболы вершина имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

$$f(x)=4x^2-8x+3$$
$$x_0=-\frac{-8}{2\cdot 4}=1$$
$$y_0=f(1)=4-8+3=-1$$
Так как $$a=4>0$$, ветви параболы направлены вверх. Значит,
$$E(f)=[-1;+\infty)$$
Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

$$f(x)=x^2+2x-6$$
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1$$
$$y_0=f(-1)=1-2-6=-7$$
Так как $$a=1>0$$, то
$$E(f)=[-7;+\infty)$$
Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.

$$f(x)=4-12x-0{,}3x^2$$
$$x_0=-\frac{-12}{2\cdot(-0{,}3)}=-20$$
$$y_0=f(-20)=4+240-120=124$$
Так как $$a=-0{,}3<0$$, ветви параболы направлены вниз. Значит,
$$E(f)=(-\infty;124]$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-20]$$ и убывает на $$[-20;+\infty)$$.

$$f(x)=7x^2+21x$$
$$x_0=-\frac{21}{2\cdot 7}=-\frac{3}{2}$$
$$y_0=f\!\left(-\frac{3}{2}\right)=7\cdot \frac{9}{4}+21\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{63}{4}-\frac{126}{4}=-\frac{63}{4}$$
Так как $$a=7>0$$, то
$$E(f)=\left[-\frac{63}{4};+\infty\right)$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\frac{3}{2}]$$ и возрастает на $$[-\frac{3}{2};+\infty)$$.

Ответ

1) $$-36;\ -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{3};\ -2,\ 2;\ \text{нулей нет};\ 15;\ 0,\ 1.$$
2) $$f(x)=4x^2-8x+3$$: убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$, $$E(f)=[-1;+\infty)$$;
$$f(x)=x^2+2x-6$$: убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$, $$E(f)=[-7;+\infty)$$;
$$f(x)=4-12x-0{,}3x^2$$: возрастает на $$(-\infty;-20]$$, убывает на $$[-20;+\infty)$$, $$E(f)=(-\infty;124]$$;
$$f(x)=7x^2+21x$$: убывает на $$(-\infty;-\frac{3}{2}]$$, возрастает на $$[-\frac{3}{2};+\infty)$$, $$E(f)=\left[-\frac{63}{4};+\infty\right)$$.