Упр.348 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Чтобы прибыть в город В в запланированное время, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью двигался мотоциклист после задержки?
Постройте график функции f(x) = -х^2 — 6х — 5. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(х) > 0.

1) Пусть $$x$$ км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда после задержки его скорость стала $$x+12$$ км/ч.

По условию время в пути без задержки равно $$\frac{120}{x}$$ ч, а фактически он проехал до переезда $$2$$ ч, затем задержался на $$\frac{6}{60}$$ ч и оставшийся путь проехал со скоростью $$x+12$$ км/ч:

$$\frac{120-2x}{x+12}+\frac{6}{60}+2=\frac{120}{x}.$$

Упростим:

$$\frac{120-2x}{x+12}+2{,}1=\frac{120}{x}.$$

Умножим на $$10x(x+12)$$:

$$10x(120-2x)+21x(x+12)=1200(x+12).$$

$$1200x-20x^2+21x^2+252x=1200x+14400.$$

$$x^2+252x-14400=0.$$

Найдём корни:

$$D=252^2+4\cdot14400=121104,$$

$$\sqrt{D}=348.$$

$$x=\frac{-252\pm348}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=48,\quad x_2=-300.$$

Отрицательное значение не подходит, значит первоначальная скорость была $$48$$ км/ч. Тогда после задержки скорость равна:

$$48+12=60.$$

2) Для функции $$f(x)=-x^2-6x-5$$ найдём вершину параболы:

$$x_0=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=-3,$$

$$f(-3)=-9+18-5=4.$$

Значит, вершина параболы — точка $$(-3;4)$$, ветви направлены вниз.

Нули функции:

$$-x^2-6x-5=0,$$

$$x^2+6x+5=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0,$$

$$x=-5,\; x=-1.$$

Тогда:

• область значений: $$(-\infty;4]$$;
• промежуток возрастания: $$(-\infty;-3]$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(-5;-1)$$.

Ответ

$$60$$ км/ч; $$E(f)=(-\infty;4]$$; функция возрастает на $$(-\infty;-3]$$; $$f(x)>0$$ при $$x\in(-5;-1)$$.