Упр.339 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) f(х) = корень(х + 4) + 2/(x + 1);
2) f(х) = корень(8 — х) + 4/(х^2 — 8х). Докажите, что при положительных значениях а и b выполняется неравенство а^3 + b^3 >= a^2 b + ab^2.

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{x+1}$$
Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:
$$x+4\ge 0,\qquad x+1\ne 0.$$
Отсюда
$$x\ge -4,\qquad x\ne -1.$$
Значит,
$$D(f)=[-4;-1)\cup(-1;+\infty).$$
$$f(x)=\sqrt{8-x}+\frac{4}{x^2-8x}$$
Требуется выполнение условий:
$$8-x\ge 0,\qquad x^2-8x\ne 0.$$
Первое неравенство даёт
$$x\le 8.$$
Во втором случае
$$x^2-8x=x(x-8)\ne 0,$$
значит,
$$x\ne 0,\qquad x\ne 8.$$
С учётом условия $x\le 8$ получаем
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;8).$$
Пусть $$a>0,\quad b>0.$$ Тогда
$$a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge 0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge 0$$
$$a^2(a-b)+b^2(b-a)\ge 0$$
$$a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge 0$$
$$\left(a^2-b^2\right)(a-b)\ge 0.$$
Разложим разность квадратов:
$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ge 0,$$
то есть
$$\left(a-b\right)^2(a+b)\ge 0.$$
Так как $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$ при любых $a$ и $b$, а при $a>0$, $b>0$ имеем $$a+b>0,$$ то неравенство верно.