Упр.339 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   1) $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{x+1}$$;
   2) $$f(x)=\sqrt{8-x}+\frac{4}{x^2-8x}$$.
2. Докажите, что при положительных значениях $$a$$ и $$b$$ выполняется неравенство $$a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$$.

1. $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{x+1}$$

   Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$x+4\ge 0,\qquad x+1\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ge -4,\qquad x\ne -1.$$

   Значит,

   $$D(f)=[-4;-1)\cup(-1;+\infty).$$

2. $$f(x)=\sqrt{8-x}+\frac{4}{x^2-8x}$$

   Требуется выполнение условий:

   $$8-x\ge 0,\qquad x^2-8x\ne 0.$$

   Первое неравенство даёт

   $$x\le 8.$$

   Во втором случае

   $$x^2-8x=x(x-8)\ne 0,$$

   значит,

   $$x\ne 0,\qquad x\ne 8.$$

   С учётом условия $$x\le 8$$ получаем

   $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;8).$$

3. Пусть $$a>0,\quad b>0.$$ Тогда

   $$a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge 0.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge 0$$

   $$a^2(a-b)+b^2(b-a)\ge 0$$

   $$a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge 0$$

   $$\left(a^2-b^2\right)(a-b)\ge 0.$$

   Разложим разность квадратов:

   $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ge 0,$$

   то есть

   $$\left(a-b\right)^2(a+b)\ge 0.$$

   Так как $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$ при любых $$a$$ и $$b$$, а при $$a>0$$, $$b>0$$ имеем $$a+b>0,$$ то неравенство верно.

Ответ

1) $$D(f)=[-4;-1)\cup(-1;+\infty).$$

2) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;8).$$

3) $$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$$