Упр.329 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   1) $$f(x)=7x-15$$;
   2) $$f(x)=\frac{8}{x+5}$$;
   3) $$f(x)=\frac{x-10}{6}$$;
   4) $$f(x)=\sqrt{x-9}$$;
   5) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$;
   6) $$f(x)=\frac{10}{x^2-4}$$;
   7) $$f(x)=\frac{6x+11}{x^2-2x}$$;
   8) $$f(x)=\sqrt{x+6}+\sqrt{4-x}$$.
2. Решите графически уравнение:
   1) $$(x-1)^2=\frac{2}{x}$$;
   2) $$1-x^2=\sqrt{x}-1$$.

1. $$f(x)=7x-15$$

   Линейная функция определена при всех значениях $$x$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

2. $$f(x)=\frac{8}{x+5}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x+5\ne 0,\quad x\ne -5.$$

   $$D(f)=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$

3. $$f(x)=\frac{x-10}{6}$$

   Знаменатель — постоянное число, поэтому функция определена при всех $$x$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$f(x)=\sqrt{x-9}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x-9\ge 0,\quad x\ge 9.$$

   $$D(f)=[9;+\infty).$$

5. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$

   Подкоренное выражение должно быть положительным, так как корень стоит в знаменателе:

   $$1-x>0,\quad x<1.$$

   $$D(f)=(-\infty;1).$$

6. $$f(x)=\frac{10}{x^2-4}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$x^2-4\ne 0,\quad x^2\ne 4,\quad x\ne \pm 2.$$

   $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

7. $$f(x)=\frac{6x+11}{x^2-2x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-2x\ne 0,\quad x(x-2)\ne 0,\quad x\ne 0,\ x\ne 2.$$

   $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$

8. $$f(x)=\sqrt{x+6}+\sqrt{4-x}$$

   Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

   $$x+6\ge 0,\quad x\ge -6;$$

   $$4-x\ge 0,\quad x\le 4.$$

   Тогда

   $$-6\le x\le 4.$$

   $$D(f)=[-6;4].$$

9. $$\left(x-1\right)^2=\frac{2}{x}$$

   Рассмотрим графики функций $$y=\left(x-1\right)^2$$ и $$y=\frac{2}{x}$$. Их точка пересечения имеет абсциссу $$x=2$$.

   Проверка:

   $$\left(2-1\right)^2=1,\qquad \frac{2}{2}=1.$$

   Значит, $$x=2$$.

10. $$1-x^2=\sqrt{x}-1$$

    Область определения: $$x\ge 0$$.

    По графику функции пересекаются при $$x=1$$.

    Проверка:

    $$1-1^2=0,\qquad \sqrt{1}-1=0.$$

    Значит, $$x=1$$.

Ответ

1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$[9;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;1)$$; 6) $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$; 7) $$(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$; 8) $$[-6;4]$$; 9) $$x=2$$; 10) $$x=1$$.