Упр.321 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;
3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
4) область значений функции.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения

$$x^2-(2a-3)x+a^2-3=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2a-3,\qquad x_1x_2=a^2-3.$$

По условию:

$$2x_1+2x_2=x_1x_2,$$

то есть

$$2(x_1+x_2)=x_1x_2.$$

Подставим формулы Виета:

$$2(2a-3)=a^2-3.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$a^2-4a+3=0.$$

$$ (a-1)(a-3)=0,$$

откуда

$$a=1 \text{ или } a=3.$$

Проверим условие существования корней исходного уравнения:

$$D=(2a-3)^2-4(a^2-3)=21-12a.$$

Для $$a=1$$:

$$D=21-12=9\ge 0.$$

Для $$a=3$$:

$$D=21-36=-15<0.$$

Значит, подходит только $$a=1$$.

Рассмотрим функцию $$y=(x+5)^2-9.$$ Это парабола с ветвями вверх, вершина которой имеет координаты $$(-5,-9)$$.

Нули функции найдём из уравнения:

$$ (x+5)^2-9=0 $$

$$ (x+5)^2=9 $$

$$ x+5=\pm 3 $$

$$ x=-8 \text{ или } x=-2.$$

Так как парабола направлена вверх, то $$y>0$$ вне промежутка между корнями:

$$x<-8 \text{ или } x>-2.$$

Функция убывает до вершины и возрастает после неё:

$$(-\infty;\,-5] \text{ — убывает},$$

$$[-5;\,+\infty) \text{ — возрастает}.$$

Минимальное значение функции равно $$-9$$, значит область значений:

$$[-9;\,+\infty).$$

Ответ

$$a=1.$$

1) $$x=-8$$ и $$x=-2$$;

2) $$x<-8$$ или $$x>-2$$;

3) убывает на $$(-\infty;\,-5]$$, возрастает на $$[-5;\,+\infty)$$;

4) $$E(y)=[-9;\,+\infty).$$