Упр.302 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Является ли решением системы неравенств $$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2?14,\\ xy<-2 \end{aligned}\right.$$ пара чисел: 1) $$(1;-3)$$; 2) $$(2;-4)$$; 3) $$(-1;1)$$; 4) $$(3;0)$$?
2. Докажите тождество: $$\frac{\frac{m-n}{m^2+mn}-\frac{m}{mn+n^2}}{\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac{1}{m+n}}=\frac{n-m}{n}.$$

1. Проверим каждую пару чисел для системы
   $$\begin{cases} x^2+y^2\le 14,\\ xy<-2. \end{cases}$$

   1) $$x=1,\ y=-3$$

   $$1^2+(-3)^2=1+9=10\le 14,$$

   $$1\cdot(-3)=-3<-2.$$

   Пара подходит.

   2) $$x=2,\ y=-4$$

   $$2^2+(-4)^2=4+16=20>14,$$

   значит, пара не подходит.

   3) $$x=-1,\ y=1$$

   $$(-1)^2+1^2=1+1=2\le 14,$$

   $$(-1)\cdot 1=-1\not<-2.$$

   Пара не подходит.

   4) $$x=3,\ y=0$$

   $$3^2+0^2=9\le 14,$$

   $$3\cdot 0=0\not<-2.$$

   Пара не подходит.

2. Докажем тождество

   $$\left(\frac{m-n}{m^2+mn}-\frac{m}{mn+n^2}\right):\left(\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac{1}{m+n}\right)=\frac{n-m}{n}.$$

   Преобразуем выражение в левой части:

   $$\frac{m-n}{m(m+n)}-\frac{m}{n(m+n)}=\frac{n(m-n)-m^2}{mn(m+n)}.$$

   $$\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac{1}{m+n} =\frac{n^2}{m(m^2-n^2)}+\frac{1}{m+n} =\frac{n^2+m(m-n)}{m(m-n)(m+n)}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{n(m-n)-m^2}{mn(m+n)}\right):\left(\frac{n^2+m(m-n)}{m(m-n)(m+n)}\right) =\frac{n-m}{n}.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) да; 2) нет; 3) нет; 4) нет.

$$\left(\frac{m-n}{m^2+mn}-\frac{m}{mn+n^2}\right):\left(\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac{1}{m+n}\right)=\frac{n-m}{n}.$$