Упр.299 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) -2x+y>3; 2) x^2+y^2?7; 3) x^2+y^2<5; 4) y?3x^2+x. Докажите, что функция у = ах^2 при а < 0 возрастает на промежутке (-бесконечность; 0] и убывает на промежутке [0; +бесконечность).

1) Проверим пару $$(-1;2)$$ в каждом неравенстве.

$$-2x+y>3$$
$$-2\cdot(-1)+2=4>3$$
Значит, пара $$(-1;2)$$ является решением.

$$x^2+y^2\ge 7$$
$$(-1)^2+2^2=1+4=5$$
$$5\ge 7$$
Неверно.

$$x^2+y^2<5$$
$$(-1)^2+2^2=1+4=5$$
$$5<5$$
Неверно.

$$y\le 3x^2+x$$
$$2\le 3\cdot(-1)^2+(-1)$$
$$2\le 3-1$$
$$2\le 2$$
Верно.

Значит, пара $$(-1;2)$$ является решением неравенств 1) и 4).

2) Докажем, что функция $$y=ax^2$$ при $$a<0$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;+\infty)$$.

Пусть $$x_1<x_2$$.

Тогда

$$y_1=ax_1^2,\quad y_2=ax_2^2$$
$$y_1-y_2=ax_1^2-ax_2^2=a(x_1^2-x_2^2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2)$$

1. На промежутке $$(-\infty;0]$$:

Если $$x_1<x_2\le 0$$, то $$x_1-x_2<0$$ и $$x_1+x_2<0$$. Так как $$a<0$$, то

$$y_1-y_2=a(x_1-x_2)(x_1+x_2)<0$$

Следовательно, $$y_1<y_2$$, значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$.

2. На промежутке $$[0;+\infty)$$:

Если $$0\le x_1<x_2$$, то $$x_1-x_2<0$$ и $$x_1+x_2>0$$. Тогда

$$y_1-y_2=a(x_1-x_2)(x_1+x_2)>0$$

Следовательно, $$y_1>y_2$$, значит, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.

Ответ

1) и 4); функция $$y=ax^2$$ при $$a<0$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.