Упр.298 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Решите уравнение c(x-a)(x-b)/((c-a)(c-b))+b(x-a)(x-c)/((b-a)(b-c))+a(x-b)(x-c)/((a-b)(a-c))=x. Докажите, что функция у = ах^2 при а > 0 убывает на промежутке (-бесконечность; 0] и возрастает на промежутке [0; +бесконечность).

Подробный ответ

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию

$$f(x)=c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}.$$

Подставим в неё значения $x=a$, $x=b$, $x=c$:

$$f(a)=c\cdot 0+b\cdot 0+a\cdot \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}=a,$$

$$f(b)=c\cdot 0+b\cdot \frac{(b-a)(b-c)}{(b-a)(b-c)}+a\cdot 0=b,$$

$$f(c)=c\cdot \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}+b\cdot 0+a\cdot 0=c.$$

Значит, график функции $y=f(x)$ проходит через три точки $$(a;a),\ (b;b),\ (c;c).$$

Но $f(x)$ — многочлен не выше второй степени, а прямая $y=x$ и кривая $y=f(x)$ имеют не менее трёх общих точек. Это возможно только в случае, если они совпадают тождественно:

$$f(x)\equiv x.$$

Следовательно, уравнение верно при любом значении $x$.

Докажем, что при $a>0$ функция $y=ax^2$ убывает на промежутке $(-\infty;0]$ и возрастает на промежутке $[0;+\infty)$.

Возьмём $x_1<x_2$.

Тогда

$$y_1=ax_1^2,\qquad y_2=ax_2^2,$$

$$y_1-y_2=a(x_1^2-x_2^2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2).$$

Если $x_1,x_2\in(-\infty;0]$, то $x_1-x_2<0$ и $x_1+x_2<0$, а так как $a>0$, то

$$y_1-y_2>0,$$

значит, $y_1>y_2$, то есть функция убывает.

Если $x_1,x_2\in[0;+\infty)$, то $x_1-x_2<0$ и $x_1+x_2>0$, поэтому

$$y_1-y_2<0,$$