Упр.293 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях a корни уравнения x^2-(4a-2)x+3a^2-4a+1=0 принадлежат промежутку [-2; 8]? На рисунке 37 изображён график функции у = ах^2. Найдите значение а. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak9 293 95

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(4a-2)x+3a^2-4a+1=0.$$

Найдём его корни по формуле Виета или через дискриминант.

$$D=(4a-2)^2-4(3a^2-4a+1).$$

$$D=16a^2-16a+4-12a^2+16a-4=4a^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{4a-2\pm 2a}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=3a-1,\qquad x_2=a-1.$$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[-2;8].$$ Значит,

$$-2\le 3a-1\le 8,$$

откуда

$$-1\le 3a\le 9,$$

$$-\frac13\le a\le 3.$$

Проверим второй корень:

$$-2\le a-1\le 8,$$

откуда

$$-1\le a\le 9.$$

Пересечение полученных промежутков:

$$\left[-\frac13;3\right].$$

Для графика $$y=ax^2$$ используем отмеченную точку.

а) Точка $$A(2;6)$$ лежит на графике, значит

$$6=a\cdot 2^2,$$

$$4a=6,$$

$$a=\frac{6}{4}=\frac32.$$

б) Точка $$B(3;-3)$$ лежит на графике, значит

$$-3=a\cdot 3^2,$$

$$9a=-3,$$

$$a=-\frac13.$$

Ответ

$$a\in\left[-\frac13;3\right],\quad \text{а) } a=\frac32,\quad \text{б) } a=-\frac13.$$