Упр.292 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях a корни уравнения x^2-2ax+a^2-4=0 меньше числа 5? На рисунке 36 изображён график функции у = ах^2. Найдите значение а.

Рассмотрим уравнение:

$$x^2-2ax+a^2-4=0.$$

Найдём его корни по формуле:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-4)=4a^2-4a^2+16=16.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2a\pm 4}{2}=a\pm 2.$$

Чтобы оба корня были меньше числа $$5$$, достаточно, чтобы больший корень удовлетворял неравенству:

$$a+2<5.$$

Отсюда

$$a<3.$$

Значит,

$$a\in(-\infty;3).$$

Для графиков функции $$y=ax^2$$ используем координаты отмеченной точки.

а) Точка $$A(2;2)$$ лежит на графике, значит:

$$2=a\cdot 2^2,$$

$$4a=2,$$

$$a=\frac{2}{4}=0{,}5.$$

б) Точка $$B(2;-1)$$ лежит на графике, значит:

$$-1=a\cdot 2^2,$$

$$4a=-1,$$

$$a=-\frac{1}{4}=-0{,}25.$$

По графику на рисунке видно, что парабола проходит через точку $$M(4;-4)$$, поэтому:

$$-4=a\cdot 4^2,$$

$$16a=-4,$$

$$a=-\frac{4}{16}=-0{,}25.$$

Ответ

$$a\in(-\infty;3); \quad a=0{,}5; \quad a=-0{,}25.$$