Упр.29 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) а^2 + b^2 — 16а + 14b + 114 > 0;
2) х^2 + у^2 + 10 > 6x — 2у;
3) с^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 >= 0.

На координатной прямой видно, что $$a<b<c.$$

Тогда:

• $$b-a>0,$$
• $$c-b>0,$$
• $$a-c<0.$$

Отрицательным является выражение $$a-c.$$

Докажем неравенства.

1. $$a^2+b^2-16a+14b+114>0$$

   $$a^2-16a+64+b^2+14b+49+1>0$$
   $$\left(a-8\right)^2+\left(b+7\right)^2+1>0.$$

   Сумма квадратов и числа $$1$$ положительна, значит неравенство верно.

2. $$x^2+y^2+10>6x-2y$$

   $$x^2+y^2+10-6x+2y>0$$
   $$x^2-6x+9+y^2+2y+1>0$$
   $$\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2>0.$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство выполняется.

3. $$c^2+5d^2+4cd-4d+4\ge 0$$

   $$c^2+4cd+4d^2+d^2-4d+4\ge 0$$
   $$\left(c+2d\right)^2+\left(d-2\right)^2\ge 0.$$

   Сумма квадратов неотрицательна, следовательно, неравенство доказано.

Ответ

$$a-c.$$