Упр.287 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) a^2 х <= 0;
2) а + х < 2 - ах;
3) (a + 4)х > 1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:
1) У = 1/3 x^2 и у = 3;
2) у = 1/2 х^2 и у = х + 4.
$$a^2x \le 0$$
Если $$a \ne 0$$, то $$a^2 > 0$$, значит, можно разделить обе части неравенства на положительное число $$a^2$$:
$$x \le 0.$$
Если $$a = 0$$, то получаем $$0 \cdot x \le 0$$, что верно при любом $$x$$.
Итак, при $$a \ne 0$$: $$x \le 0$$; при $$a = 0$$: $$x \in (-\infty; +\infty).$$
$$a + x < 2 — ax$$
Перенесём слагаемые с $$x$$ влево, числа вправо:
$$x + ax < 2 — a$$
$$x(a+1) < 2-a.$$
Если $$a+1 > 0$$, то
$$x < \frac{2-a}{a+1}.$$
Если $$a+1 < 0$$, то знак неравенства меняется:
$$x > \frac{2-a}{a+1}.$$
Если $$a=-1$$, то получаем $$-1+x<2+x$$, то есть $$-1<2$$ — верно при любом $$x$$.
$$\left(a+4\right)x > 1$$
Если $$a+4 > 0$$, то
$$x > \frac{1}{a+4}.$$
Если $$a+4 < 0$$, то
$$x < \frac{1}{a+4}.$$
Если $$a=-4$$, то получаем $$0 \cdot x > 1$$, что невозможно, значит решений нет.
Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac13x^2$$ и $$y=3$$:
$$\frac13x^2=3$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm 3.$$
Точки пересечения: $$(-3;3)$$ и $$ (3;3).$$
Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac12x^2$$ и $$y=x+4$$:
$$\frac12x^2=x+4$$
$$x^2=2x+8$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0.$$
Отсюда $$x=4$$ или $$x=-2.$$
При $$x=4$$: $$y=4+4=8.$$
При $$x=-2$$: $$y=-2+4=2.$$
Точки пересечения: $$(-2;2)$$ и $$ (4;8).$$
Ответ
1) При $$a \ne 0$$: $$x \le 0$$; при $$a=0$$: любое $$x$$.
2) При $$a>-1$$: $$x<\frac{2-a}{a+1}$$; при $$a<-1$$: $$x>\frac{2-a}{a+1}$$; при $$a=-1$$: любое $$x$$.
3) При $$a>-4$$: $$x>\frac{1}{a+4}$$; при $$a<-4$$: $$x<\frac{1}{a+4}$$; при $$a=-4$$: решений нет.
Точки пересечения: 1) $$(-3;3)$$ и $$ (3;3)$$; 2) $$(-2;2)$$ и $$ (4;8).$$
