Упр.280 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 4х + а = 2 имеет положительный корень;
2) (а + 6)х = 3 имеет отрицательный корень;
3) (а — 1)х = а^2 — 1 имеет единственный положительный корень? Постройте график функции f(x) = х^2, определённой на промежутке [а; 2], где а < 2. Для каждого значения а найдите наибольшее и наименьшее значения функции.

Подробный ответ

1) $$4x+a=2$$

Чтобы уравнение имело положительный корень, нужно, чтобы

$$x=\frac{2-a}{4}>0.$$

Так как $$4>0$$, получаем

$$2-a>0,\quad a<2.$$

Значит, $$a\in(-\infty;2).$$

2) $$(a+6)x=3$$

Чтобы корень был отрицательным, нужно, чтобы

$$x=\frac{3}{a+6}<0.$$

Так как $$3>0$$, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$a+6<0,\quad a<-6.$$

Значит, $$a\in(-\infty;-6).$$

3) $$(a-1)x=a^2-1$$

Нужно, чтобы уравнение имело единственный положительный корень. При $$a\neq 1$$

$$x=\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1.$$

Тогда требуется

$$a+1>0,\quad a>-1,$$

и одновременно

$$a\neq 1$$

так как при $$a=1$$ уравнение превращается в $$0\cdot x=0$$ и имеет бесконечно много решений, а не единственный корень.

Следовательно,

$$a\in(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

Построим график функции $$f(x)=x^2$$ на промежутке $$[a;2]$$, где $$a<2$$. Парабола возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0]$$, поэтому значения функции на отрезке зависят от положения точки $$a$$ относительно нуля.

1) Если $$a<-2$$, то на отрезке $$[a;2]$$ минимум достигается в точке $$x=0$$, а максимум — в точке $$x=a$$:

$$f_{\min}=0,\quad f_{\max}=a^2.$$

2) Если $$-2\le a\le 0$$, то наибольшее значение достигается в точке $$x=-2$$ или $$x=2$$, то есть равно $$4$$, а наименьшее — в точке $$x=0$$:

$$f_{\min}=0,\quad f_{\max}=4.$$

3) Если $$0<a<2$$, то функция возрастает на всём отрезке $$[a;2]$$, поэтому

$$f_{\min}=a^2,\quad f_{\max}=4.$$