Упр.28 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) а^2 + b^2 + 6а — 4b + 13 >= 0;
2) х^2 — 2х + у^2 + 10у + 28 > 0;
3) 2m^2 — бmn + 9n^2 — 6m + 9 >= 0;
4) а^2 + b^2 + с^2 + 12 >= 4(а + b + с);
5) a^2 b^2 + а^2 + b^2 + 1 >= 4ab.
По рисунку видно, что $$a>b>c$$. Тогда
$$a-b>0,$$
а выражения $$a-c$$ и $$b-c$$ положительны тоже, но среди предложенных нужно выбрать одно из них. Наибольшее из разностей — $$a-b$$.
Докажем неравенства.
$$a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$$
$$a^2+6a+9+b^2-4b+4\ge 0$$
$$ (a+3)^2+(b-2)^2\ge 0 $$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
$$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$
$$x^2-2x+1+y^2+10y+25+2>0$$
$$ (x-1)^2+(y+5)^2+2>0 $$
Сумма квадратов неотрицательна, а число $$2>0$$, значит неравенство верно.
$$2m^2-6mn+9n^2-6m+9\ge 0$$
$$m^2-6mn+9n^2+m^2-6m+9\ge 0$$
$$ (m-3n)^2+(m-3)^2\ge 0 $$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
$$a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$$
$$a^2-4a+4+b^2-4b+4+c^2-4c+4\ge 0$$
$$ (a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2\ge 0 $$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
$$a^2b^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$$
$$a^2b^2-2ab+1+a^2-2ab+b^2\ge 0$$
$$ (ab-1)^2+(a-b)^2\ge 0 $$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
Ответ
Положительное число: $$a-b$$.
1) $$a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$$; 2) $$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$; 3) $$2m^2-6mn+9n^2-6m+9\ge 0$$; 4) $$a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$$; 5) $$a^2b^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$$.
