Упр.28 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. На координатной прямой отметили числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ (рис. 1). Значение какого из выражений $$a-c$$, $$a-b$$, $$b-c$$ является положительным числом?
2. Докажите неравенство:
   1) $$a^2+b^2+6a-4b+13\geq0$$;
   2) $$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$;
   3) $$2m^2-6mn+9n^2-6m+9\geq0$$;
   4) $$a^2+b^2+c^2+12\geq4(a+b+c)$$;
   5) $$a^2b^2+a^2+b^2+1\geq4ab$$.

По рисунку видно, что $$a>b>c$$. Тогда

$$a-b>0,$$

а выражения $$a-c$$ и $$b-c$$ положительны тоже, но среди предложенных нужно выбрать одно из них. Наибольшее из разностей — $$a-b$$.

Докажем неравенства.

1. $$a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$$

   $$a^2+6a+9+b^2-4b+4\ge 0$$

   $$(a+3)^2+(b-2)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

2. $$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$

   $$x^2-2x+1+y^2+10y+25+2>0$$

   $$(x-1)^2+(y+5)^2+2>0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, а число $$2>0$$, значит неравенство верно.

3. $$2m^2-6mn+9n^2-6m+9\ge 0$$

   $$m^2-6mn+9n^2+m^2-6m+9\ge 0$$

   $$(m-3n)^2+(m-3)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

4. $$a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$$

   $$a^2-4a+4+b^2-4b+4+c^2-4c+4\ge 0$$

   $$(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

5. $$a^2b^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$$

   $$a^2b^2-2ab+1+a^2-2ab+b^2\ge 0$$

   $$(ab-1)^2+(a-b)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

Ответ

Положительное число: $$a-b$$.

1) $$a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$$; 2) $$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$; 3) $$2m^2-6mn+9n^2-6m+9\ge 0$$; 4) $$a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$$; 5) $$a^2b^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$$.