Упр.278 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) у= |х — 2|;
2) у = |х + 3| — 1;
3) у = |х — 1| + х. Докажите, что функция у = k/x убывает на каждом из промежутков
(-бескон6ечность; 0) и (0; -бесконечность) при k > 0 и возрастает на каждом из этих промежутков при k < 0.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$y=|x-2|.$$

Если $$x<2,$$ то $$x-2<0,$$ значит

$$y=-(x-2)=2-x.$$

Если $$x\ge 2,$$ то $$x-2\ge 0,$$ значит

$$y=x-2.$$

График состоит из двух лучей с вершиной в точке $$\left(2;0\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=|x+3|-1.$$

Если $$x<-3,$$ то $$x+3<0,$$ значит

$$y=-(x+3)-1=-x-4.$$

Если $$x\ge -3,$$ то $$x+3\ge 0,$$ значит

$$y=x+3-1=x+2.$$

График состоит из двух лучей с вершиной в точке $$\left(-3;-1\right).$$

3) Рассмотрим функцию $$y=|x-1|+x.$$

Если $$x<1,$$ то $$x-1<0,$$ значит

$$y=-(x-1)+x=1.$$

Если $$x\ge 1,$$ то $$x-1\ge 0,$$ значит

$$y=x-1+x=2x-1.$$

Следовательно, график состоит из горизонтального луча $$y=1$$ при $$x<1$$ и луча прямой $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1,$$ которые соединяются в точке $$\left(1;1\right).$$

Докажем монотонность функции $$y=\dfrac{k}{x},\ x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Пусть $$x_2>x_1$$ и оба числа принадлежат одному из промежутков области определения.

Тогда

$$\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1}=\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}.$$

Так как $$x_2-x_1>0,$$ то $$x_1-x_2<0.$$

1) При $$k>0$$ на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ имеем $$x_1x_2>0,$$ поэтому

$$\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}<0.$$

Значит, $$\dfrac{k}{x}$$ убывает на каждом из этих промежутков.

2) При $$k<0$$ получаем

$$\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}>0.$$

Значит, $$\dfrac{k}{x}$$ возрастает на каждом из этих промежутков.