Упр.277 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   1. $$\begin{cases}-x<2,\\2x>7,\\x<-4;\end{cases}$$
   2. $$\begin{cases}3x-1<2x+2,\\2x+1>8-5x,\\5x-25?0.\end{cases}$$
2. Докажите, что функция:
   1. $$y=\frac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;+\infty);$$
   2. $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;3].$$

1. Решим систему неравенств:

   $$\begin{cases} -x<2,\\ 2x>7,\\ x<-4. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} x>-2,\\ x>3{,}5,\\ x<-4. \end{cases}$$

   Одновременно выполнить все три неравенства невозможно, значит, решений нет.

   Ответ: $$\varnothing$$.

2. Решим систему неравенств:

   $$\begin{cases} 3x-1<2x+2,\\ 2x+1>8-5x,\\ 5x-25\le 0. \end{cases}$$

   Преобразуем каждое неравенство:

   $$\begin{cases} x<3,\\ 7x>7,\\ x\le 5. \end{cases}$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x>1,\\ x<3. \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in(1;3).$$

   Ответ: $$(1;3)$$.

3. Докажем, что функция $$y=\dfrac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;+\infty)$$.

   Пусть $$x_1<x_2$$, где $$x_1,x_2>-5$$. Тогда

   $$x_1+5<x_2+5,$$

   а значит, при положительных знаменателях

   $$\frac{1}{x_1+5}>\frac{1}{x_2+5}.$$

   Умножая на $$7>0$$, получаем

   $$\frac{7}{x_1+5}>\frac{7}{x_2+5}.$$

   Следовательно, $$y_1>y_2$$, то есть функция убывает на $$(-5;+\infty)$$.

4. Докажем, что функция $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;3]$$.

   Пусть $$x_1<x_2\le 3$$. Тогда

   $$y_1=6x_1-x_1^2,\qquad y_2=6x_2-x_2^2.$$

   Найдём разность:

   $$\begin{aligned} y_2-y_1&=(6x_2-x_2^2)-(6x_1-x_1^2)\\ &=6(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)\\ &=(x_2-x_1)\bigl(6-(x_1+x_2)\bigr). \end{aligned}$$

   Так как $$x_1<x_2\le 3$$, то $$x_2-x_1>0$$ и $$x_1+x_2\le 6$$, значит $$6-(x_1+x_2)\ge 0$$. Следовательно,

   $$y_2-y_1\ge 0,$$

   то есть $$y_1\le y_2$$. Значит, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;3]$$.

Ответ

1) $$\varnothing$$; 2) $$(1;3)$$; 1) убывает; 2) возрастает.