Упр.277 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) {-x<2, 2x>7, x<-4};
2) {3x-1<2x+2, 2x+1>8-5x, 5x-25?0}. Докажите, что функция:
1) у = 7/(x + 5) убывает на промежутке (-5; +бесконечность);
2) у = 6x — х^2 возрастает на промежутке (-бесконечность; 3].
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} -x<2,\\ 2x>7,\\ x<-4. \end{cases}$$
Получаем:
$$\begin{cases} x>-2,\\ x>3{,}5,\\ x<-4. \end{cases}$$
Одновременно выполнить все три неравенства невозможно, значит, решений нет.
Ответ: $$\varnothing$$.
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 3x-1<2x+2,\\ 2x+1>8-5x,\\ 5x-25\le 0. \end{cases}$$
Преобразуем каждое неравенство:
$$\begin{cases} x<3,\\ 7x>7,\\ x\le 5. \end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases} x>1,\\ x<3. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(1;3).$$
Ответ: $$ (1;3) $$.
Докажем, что функция $$y=\dfrac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;+\infty)$$.
Пусть $$x_1<x_2$$, где $$x_1,x_2>-5$$. Тогда
$$x_1+5<x_2+5,$$
а значит, при положительных знаменателях
$$\frac{1}{x_1+5}>\frac{1}{x_2+5}.$$
Умножая на $$7>0$$, получаем
$$\frac{7}{x_1+5}>\frac{7}{x_2+5}.$$
Следовательно, $$y_1>y_2$$, то есть функция убывает на $$(-5;+\infty)$$.
Докажем, что функция $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;3]$$.
Пусть $$x_1<x_2\le 3$$. Тогда
$$y_1=6x_1-x_1^2,\qquad y_2=6x_2-x_2^2.$$
Найдём разность:
$$\begin{aligned} y_2-y_1&=(6x_2-x_2^2)-(6x_1-x_1^2)\\ &=6(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)\\ &=(x_2-x_1)\bigl(6-(x_1+x_2)\bigr). \end{aligned}$$
Так как $$x_1<x_2\le 3$$, то $$x_2-x_1>0$$ и $$x_1+x_2\le 6$$, значит $$6-(x_1+x_2)\ge 0$$. Следовательно,
$$y_2-y_1\ge 0,$$
то есть $$y_1\le y_2$$. Значит, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;3]$$.
Ответ
1) $$\varnothing$$; 2) $$ (1;3) $$; 1) убывает; 2) возрастает.
