Упр.276 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) {x<4, x>2, x<3,6};
2) {2x-6<8, 4-4x<10, 8x-9>3};
3) {0,4-8x?3,6, 1,5x-2<4, 4,1x+10<1,6x+5}. Докажите, что функция:
1) у = 6/(3 - x) возрастает на промежутке (3; +бесконечность);
2) у = х^2 - 4х + 3 убывает на промежутке (-бесконечность; 2].
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} x<4,\\ x>2,\\ x<3{,}6 \end{cases}$$
Пересечение всех промежутков:
$$2<x<3{,}6.$$
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 2x-6<8,\\ 4-4x<10,\\ 8x-9>3 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2x<14,\\ -4x<6,\\ 8x>12 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x<7,\\ x>-1{,}5,\\ x>1{,}5 \end{cases}$$
Пересечение решений:
$$1{,}5<x<7.$$
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 0{,}4-8x>3{,}6,\\ 1{,}5x-2<4,\\ 4{,}1x+10<1{,}6x+5 \end{cases}$$
$$\begin{cases} -8x>3{,}2,\\ 1{,}5x<6,\\ 2{,}5x<-5 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x<-0{,}4,\\ x<4,\\ x<-2 \end{cases}$$
Пересечение решений:
$$x<-2.$$
Докажем монотонность функций.
1) $$y=\frac{6}{3-x}$$ возрастает на промежутке $$(3;+\infty).$$
Пусть $$x_1<x_2,$$ где $$x_1,x_2>3.$$ Тогда
$$3-x_1>3-x_2>0,$$
а значит, при положительных знаменателях
$$\frac{6}{3-x_1}<\frac{6}{3-x_2}.$$
Следовательно, $$y_1<y_2,$$ то есть функция возрастает.
2) $$y=x^2-4x+3$$ убывает на промежутке $$(-\infty;2].$$
Пусть $$x_1<x_2\le 2.$$ Тогда
$$y_1-y_2=(x_1^2-4x_1+3)-(x_2^2-4x_2+3)$$
$$=x_1^2-x_2^2-4(x_1-x_2)$$
$$=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4).$$
Так как $$x_1-x_2<0,$$ а $$x_1+x_2-4\le 0,$$ то
$$y_1-y_2\ge 0,$$
значит, $$y_1\ge y_2.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;2].$$
Ответ
1) $$\left(2;3{,}6\right);$$ 2) $$\left(1{,}5;7\right);$$ 3) $$(-\infty;-2);$$ 1) возрастает; 2) убывает.
