Упр.27 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) v10·v40; 2) v48/v36; 3) (v7-v5)(v7+v5); 4) v3(v12+v27)? Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство
(а^2 + 2) / корень(a^2 + 1) >= 2.

1) $$\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}=\sqrt{400}=20$$ — рациональное число.

2) $$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{36}}=\sqrt{\frac{48}{36}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ — иррациональное число.

3) $$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=7-5=2$$ — рациональное число.

4) $$\sqrt{3}(\sqrt{12}+\sqrt{27})=6+9=15$$ — рациональное число.

Иррациональным является только выражение под номером 2.

Докажем неравенство:

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$$

Так как $$a^2+1>0$$ при любых значениях $$a$$, можно возвести обе части в квадрат:

$$\frac{(a^2+2)^2}{a^2+1}\ge 4$$

$$ (a^2+2)^2-4(a^2+1)\ge 0 $$

$$ a^4+4a^2+4-4a^2-4\ge 0 $$

$$ a^4\ge 0 $$

Это верно при любых значениях $$a$$, значит, неравенство доказано.

Ответ

2; $$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$$.