Упр.27 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Значение какого из данных выражений является иррациональным числом: 1) $$\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}$$; 2) $$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{36}}$$; 3) $$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})$$; 4) $$\sqrt{3}(\sqrt{12}+\sqrt{27})$$?
2. Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство $$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$$.

1) $$\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}=\sqrt{400}=20$$ — рациональное число.

2) $$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{36}}=\sqrt{\frac{48}{36}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ — иррациональное число.

3) $$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=7-5=2$$ — рациональное число.

4) $$\sqrt{3}(\sqrt{12}+\sqrt{27})=6+9=15$$ — рациональное число.

Иррациональным является только выражение под номером 2.

Докажем неравенство:

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$$

Так как $$a^2+1>0$$ при любых значениях $$a$$, можно возвести обе части в квадрат:

$$\frac{(a^2+2)^2}{a^2+1}\ge 4$$

$$(a^2+2)^2-4(a^2+1)\ge 0$$

$$a^4+4a^2+4-4a^2-4\ge 0$$

$$a^4\ge 0$$

Это верно при любых значениях $$a$$, значит, неравенство доказано.

Ответ

2; $$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$$.