Упр.269 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) v(x+6)+1/(x-4); 2) 1/v(21-3x)+1/(x^2-9)? Постройте график функции f(x) =
система
4/x, если х < -1, x/4, если -1 <= х <= 1, 4/x, если х > 1.
Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

1) Чтобы выражение $$\sqrt{x+6}+\frac{1}{x-4}$$ имело смысл, нужно:

$$x+6\ge 0,\quad x-4\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ge -6,\quad x\ne 4.$$

Значит, область определения:

$$[-6;4)\cup(4;+\infty).$$

2) Для выражения $$\frac{1}{\sqrt{21-3x}}+\frac{1}{x^2-9}$$ необходимо:

$$21-3x>0,$$

так как корень стоит в знаменателе, и

$$x^2-9\ne 0.$$

Получаем:

$$x<7,$$

$$x\ne -3,\quad x\ne 3.$$

Следовательно, область определения:

$$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;7).$$

3) Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x}{4}, & -1\le x\le 1,\\[4pt] \dfrac{4}{x}, & x>1. \end{cases} $$

График состоит из трёх частей: ветвей гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$ и отрезка прямой $$y=\frac{x}{4}$$ на промежутке $$[-1;1].$$

Точки на границах промежутка входят в график: $$(-1;-\tfrac14)$$ и $$\left(1;\tfrac14\right).$$

Нули функции найдём из равенства $$f(x)=0$$. На среднем участке:

$$\frac{x}{4}=0 \Rightarrow x=0.$$

На ветвях гиперболы нулей нет.

Знаки функции:

• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0);$$
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty).$$

Промежутки монотонности:

• функция возрастает на $$[-1;1];$$
• функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$[-6;4)\cup(4;+\infty).$$

2) $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;7).$$

3) Нуль функции: $$x=0.$$

$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0),\quad f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty).$$

Возрастает на $$[-1;1],$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$