Упр.269 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) $$\sqrt{x+6}+\frac{1}{x-4}$$;
2) $$\frac{1}{\sqrt{21-3x}}+\frac{1}{x^2-9}$$? - Постройте график функции
$$f(x)=\begin{cases} \frac{4}{x}, & x<-1,\\ \frac{x}{4}, & -1\leqslant x\leqslant 1,\\ \frac{4}{x}, & x>1. \end{cases}$$
Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.
1) Чтобы выражение $$\sqrt{x+6}+\frac{1}{x-4}$$ имело смысл, нужно:
$$x+6\ge 0,\quad x-4\ne 0.$$
Отсюда
$$x\ge -6,\quad x\ne 4.$$
Значит, область определения:
$$[-6;4)\cup(4;+\infty).$$
2) Для выражения $$\frac{1}{\sqrt{21-3x}}+\frac{1}{x^2-9}$$ необходимо:
$$21-3x>0,$$
так как корень стоит в знаменателе, и
$$x^2-9\ne 0.$$
Получаем:
$$x<7,$$
$$x\ne -3,\quad x\ne 3.$$
Следовательно, область определения:
$$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;7).$$
3) Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x}{4}, & -1\le x\le 1,\\[4pt] \dfrac{4}{x}, & x>1. \end{cases}$$
График состоит из трёх частей: ветвей гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$ и отрезка прямой $$y=\frac{x}{4}$$ на промежутке $$[-1;1].$$
Точки на границах промежутка входят в график: $$(-1;-\tfrac14)$$ и $$\left(1;\tfrac14\right).$$
Нули функции найдём из равенства $$f(x)=0$$. На среднем участке:
$$\frac{x}{4}=0 \Rightarrow x=0.$$
На ветвях гиперболы нулей нет.
Знаки функции:
- $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0);$$
- $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty).$$
Промежутки монотонности:
- функция возрастает на $$[-1;1];$$
- функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
1) $$[-6;4)\cup(4;+\infty).$$
2) $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;7).$$
3) Нуль функции: $$x=0.$$
$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0),\quad f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty).$$
Возрастает на $$[-1;1],$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
