Упр.268 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите область определения выражения:

1) $$\sqrt{12-6x}-\frac{4}{x+3}$$;

2) $$\frac{x}{\sqrt{4x+20}}+\frac{x+1}{x^2-2x}$$.
Постройте график функции
$$f(x)=\begin{cases} 2x+8, & \text{если } x\leq -2,\\ x^2, & \text{если } -2

Подробный ответ

Найдём область определения выражения $$\sqrt{12-6x}-\frac{4}{x+3}.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля:
$$12-6x \ge 0,\quad x+3 \ne 0.$$
$$6x \le 12,\quad x \le 2,\quad x \ne -3.$$
Значит,
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;2].$$
Найдём область определения выражения $$\frac{x}{\sqrt{4x+20}}+\frac{x+1}{x^2-2x}.$$
Для корня в знаменателе нужно строгое неравенство:
$$4x+20>0 \quad \Rightarrow \quad x>-5.$$
Знаменатель второй дроби не должен обращаться в ноль:
$$x^2-2x\ne 0,\quad x(x-2)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 2.$$
Итак,
$$D(f)=(-5;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$
Построим график функции
$$f(x)= \begin{cases} 2x+8, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x<2,\\ -2x+8, & x\ge 2. \end{cases}$$
Ключевые точки графика:
$$(-4,0),\quad (-2,4),\quad (0,0),\quad (2,4),\quad (4,0).$$
По графику получаем:
- нули функции: $$x=-4,\; x=0,\; x=4$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in(-4;0)\cup(0;4)$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$;
- функция убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$.

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(-3;2]$$;
2) $$(-5;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$;
3) нули функции: $$x=-4,\;0,\;4$$; $$f(x)>0$$ при $$x\in(-4;0)\cup(0;4)$$; $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$$; возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$; убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$.