Упр.263 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 5x^2-4x+b=0 имеет два различных действительных корня;
2) x^2+x-3b=0 не имеет корней? Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) y = -4х + 8;
2) у = -х^2 — 1;
3) у = корень(х) + 2.

1) Для уравнения $$5x^2-4x+b=0$$ два различных действительных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант положителен:

$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot b>0$$

$$16-20b>0$$

$$b<\frac{16}{20}=\frac45$$

Значит, $$b\in(-\infty;\frac45).$$

2) Уравнение $$x^2+x-3b=0$$ не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-3b)<0$$

$$1+12b<0$$

$$12b<-1$$

$$b<-\frac{1}{12}$$

Следовательно, $$b\in(-\infty;-\frac{1}{12}).$$

Найдём промежутки знакопостоянства функций.

1) $$y=-4x+8$$

$$-4x+8>0 \Rightarrow -4x>-8 \Rightarrow x<2$$

$$-4x+8<0 \Rightarrow x>2$$

Значит, $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;2),$$ а $$y<0$$ при $$x\in(2;+\infty).$$

2) $$y=-x^2-1$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$-x^2-1\le -1<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Следовательно, функция всегда отрицательна: $$y<0$$ при $$x\in\mathbb{R},$$ а положительных значений не принимает.

3) $$y=\sqrt{x}+2$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

При всех допустимых $$x$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значит

$$\sqrt{x}+2>0.$$

Следовательно, $$y>0$$ при $$x\in[0;+\infty),$$ а $$y<0$$ не бывает.

Ответ

1) $$b\in(-\infty;\frac45).$$

2) $$b\in(-\infty;-\frac{1}{12}).$$

$$y=-4x+8: \; y>0 \text{ при } x\in(-\infty;2), \; y<0 \text{ при } x\in(2;+\infty).$$

$$y=-x^2-1: \; y<0 \text{ при } x\in\mathbb{R}, \; y>0 \text{ не бывает.}$$

$$y=\sqrt{x}+2: \; y>0 \text{ при } x\in[0;+\infty), \; y<0 \text{ не бывает.}$$