Упр.262 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) x^2+5x-a=0 не имеет корней;
2) 3x^2-6x+2a=0 имеет хотя бы один действительный корень? Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) y = 5х — 15;
2) У = -7x — 28;
3) у = х^2 — 2х + 1;
4) y = 9/(3 — x).

1) Для уравнения $$x^2+5x-a=0$$ дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-a)=25+4a.$$

Чтобы корней не было, нужно

$$25+4a<0,$$

$$4a<-25,$$

$$a<-\frac{25}{4}.$$

Значит, уравнение не имеет корней при $$a\in\left(-\infty;-\frac{25}{4}\right).$$

2) Для уравнения $$3x^2-6x+2a=0$$ требуется хотя бы один действительный корень, то есть

$$D\ge 0.$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 2a=36-24a.$$

Тогда

$$36-24a\ge 0,$$

$$24a\le 36,$$

$$a\le \frac{3}{2}.$$

Следовательно, $$a\in\left(-\infty;\frac{3}{2}\right].$$

3) $$y=5x-15.$$

Найдём нуль функции:

$$5x-15=0,$$

$$x=3.$$

Так как коэффициент при $$x$$ положительный, то

$$y>0 \text{ при } x>3,$$

$$y<0 \text{ при } x<3.$$

4) $$y=-7x-28.$$

Найдём нуль функции:

$$-7x-28=0,$$

$$x=-4.$$

Так как коэффициент при $$x$$ отрицательный, то

$$y>0 \text{ при } x<-4,$$

$$y<0 \text{ при } x>-4.$$

5) $$y=x^2-2x+1=(x-1)^2.$$

Квадрат неотрицателен при любых $$x$$, поэтому

$$y\ge 0 \text{ при всех } x,$$

$$y=0 \text{ только при } x=1.$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } x\ne 1,$$

$$y<0 \text{ не бывает}.$$

6) $$y=\frac{9}{3-x}.$$

Числитель положителен, поэтому знак функции определяется знаменателем:

$$3-x>0 \iff x<3,$$

$$3-x<0 \iff x>3.$$

Следовательно,

$$y>0 \text{ при } x<3,$$

$$y<0 \text{ при } x>3,$$

при $$x=3$$ функция не определена.

Ответ

1) $$a<-\frac{25}{4}.$$ 2) $$a\le \frac{3}{2}.$$ 3) $$y>0$$ при $$x>3$$, $$y<0$$ при $$x<3$$. 4) $$y>0$$ при $$x<-4$$, $$y<0$$ при $$x>-4$$. 5) $$y>0$$ при $$x\ne 1$$, $$y<0$$ не бывает. 6) $$y>0$$ при $$x<3$$, $$y<0$$ при $$x>3$$.