Упр.26 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) v8·v12; 2) v24/v54; 3) v6(v6+1); 4) (v6+1)^2? Выполняется ли неравенство (a^2 + 4)/2 >= корень(a^2 + 3) при всех значениях а?

1) $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

2) $$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{54}}=\sqrt{\frac{24}{54}}=\sqrt{\frac{4\cdot 6}{9\cdot 6}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$$ — рациональное число.

3) $$\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)=6+\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

4) $$(\sqrt{6}+1)^2=6+2\sqrt{6}+1=7+2\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

Рациональным является только выражение 2).

Проверим неравенство $$\frac{a^2+4}{2}\ge \sqrt{a^2+3}.$$

Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

$$ \left(\frac{a^2+4}{2}\right)^2 \ge a^2+3 $$

$$ (a^2+4)^2 \ge 4(a^2+3) $$

$$ a^4+8a^2+16 \ge 4a^2+12 $$

$$ a^4+4a^2+4 \ge 0 $$

$$ (a^2+2)^2 \ge 0 $$

Это верно при любых значениях $$a$$.

Ответ

1) иррациональное; 2) рациональное; 3) иррациональное; 4) иррациональное. Неравенство выполняется при всех значениях $$a$$.