Упр.26 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Значение какого из данных выражений является рациональным числом:
   1) $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{12}$$;
   2) $$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{54}}$$;
   3) $$\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)$$;
   4) $$(\sqrt{6}+1)^2$$?
2. Выполняется ли неравенство $$\frac{a^2+4}{2}\ge\sqrt{a^2+3}$$ при всех значениях $$a$$?

1) $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

2) $$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{54}}=\sqrt{\frac{24}{54}}=\sqrt{\frac{4\cdot 6}{9\cdot 6}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$$ — рациональное число.

3) $$\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)=6+\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

4) $$(\sqrt{6}+1)^2=6+2\sqrt{6}+1=7+2\sqrt{6}$$ — число иррациональное.

Рациональным является только выражение 2).

Проверим неравенство $$\frac{a^2+4}{2}\ge \sqrt{a^2+3}.$$

Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

$$\left(\frac{a^2+4}{2}\right)^2 \ge a^2+3$$

$$(a^2+4)^2 \ge 4(a^2+3)$$

$$a^4+8a^2+16 \ge 4a^2+12$$

$$a^4+4a^2+4 \ge 0$$

$$(a^2+2)^2 \ge 0$$

Это верно при любых значениях $$a$$.

Ответ

1) иррациональное; 2) рациональное; 3) иррациональное; 4) иррациональное. Неравенство выполняется при всех значениях $$a$$.