Упр.244 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Потом снова отлили столько же, сколько и в первый раз, и долили водой до предыдущего уровня.
Сколько килограммов жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?
Найдите область значений функции:
1) f(x) = корень(х) — 1;
2) f(х) = 5 — х^2;
3) f(х) = -7;
4) f(x) = |х| + 2;
5) f(х) = корень(-х^2);
6) f(х) = корень(x — 2) + корень(2 — х).

Подробный ответ

Пусть каждый раз отливали $$x$$ кг кислоты. Тогда после первого отливания и доливания воды до прежнего уровня концентрация кислоты стала
$$\frac{12-x}{12}.$$
После второго такого же отливания кислоты осталось
$$12-x-\frac{x(12-x)}{12}.$$
По условию в результате получили $$25\%$$-й раствор, значит
$$\frac{12-x-\frac{x(12-x)}{12}}{12}=\frac14.$$
Решим уравнение:
$$ 12-x-\frac{x(12-x)}{12}=3 $$
$$ 144-12x-12x+x^2=36 $$
$$ x^2-24x+108=0 $$
$$ D=24^2-4\cdot108=144 $$
$$ x=\frac{24\pm12}{2} $$
$$ x_1=6,\quad x_2=18. $$
Так как отливали часть содержимого ёмкости, подходит только $$x=6$$.
Найдём область значений функций.
1) $$f(x)=\sqrt{x}-1$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то
$$f(x)\ge -1.$$
Значит, $$E(f)=[-1;+\infty).$$
2) $$f(x)=5-x^2$$
Поскольку $$x^2\ge 0$$, имеем
$$f(x)\le 5.$$
Значит, $$E(f)=(-\infty;5].$$
3) $$f(x)=-7$$
Функция постоянная, поэтому
$$E(f)=\{-7\}.$$
4) $$f(x)=|x|+2$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$f(x)\ge 2.$$
Значит, $$E(f)=[2;+\infty).$$
5) $$f(x)=\sqrt{-x^2}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$-x^2\ge 0.$$
Это возможно только при $$x=0$$. Тогда
$$f(0)=0.$$
Значит, $$E(f)=\{0\}.$$
6) $$f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}$$
Для существования обоих корней нужно:
$$ x-2\ge 0,\qquad 2-x\ge 0 $$
$$ x\ge 2,\qquad x\le 2 $$
$$ x=2. $$
Тогда
$$f(2)=\sqrt{0}+\sqrt{0}=0.$$
Значит, $$E(f)=\{0\}.$$