Упр.243 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Встретились они в пункте С. От С до В товарный поезд шёл 4 ч, а пассажирский от С до A — 6 ч.
За сколько часов каждый поезд может преодолеть путь между А и В? Найдите область определения функции:
1) f(х) = корень(х + 4) + 2/(x + 1);
2) f(х) = корень(8 — х) + 4/(х^2 — 8х).

Обозначим:

$$v_1$$ — скорость пассажирского поезда,

$$v_2$$ — скорость товарного поезда,

$$t$$ — время в пути товарного поезда до встречи.

Тогда пассажирский поезд был в пути до встречи $$t-5$$ ч.

После встречи товарный поезд прошёл до пункта $$B$$ ещё 4 ч, а пассажирский до пункта $$A$$ — 6 ч. Значит, до встречи и после встречи каждый поезд прошёл одинаковое расстояние:

$$ (t-5)v_1=4v_2, $$

$$ tv_2=6v_1. $$

Из второго уравнения:

$$ v_2=\frac{6v_1}{t}. $$

Подставим в первое:

$$ (t-5)v_1=4\cdot \frac{6v_1}{t}. $$

Так как $$v_1\neq 0$$, получаем:

$$ t(t-5)=24 $$

$$ t^2-5t-24=0 $$

$$ (t-8)(t+3)=0 $$

Отсюда $$t=8$$ или $$t=-3$$. Отрицательное значение не подходит, значит:

$$ t=8. $$

Тогда пассажирский поезд был в пути до встречи:

$$ t-5=8-5=3. $$

Следовательно, весь путь между $$A$$ и $$B$$ товарный поезд проходит за

$$ 8+4=12 $$

ч, а пассажирский — за

$$ 3+6=9 $$

ч.

Найдём область определения функций.

1) $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{x+1}$$

Для корня нужно $$x+4\ge 0$$, а знаменатель не должен обращаться в ноль: $$x+1\ne 0$$.

Получаем:

$$ x\ge -4,\quad x\ne -1. $$

Значит,

$$ D(f)=[-4;-1)\cup(-1;+\infty). $$

2) $$f(x)=\sqrt{8-x}+\frac{4}{x^2-8x}$$

Для корня нужно $$8-x\ge 0$$, то есть $$x\le 8$$.

Знаменатель дроби не равен нулю:

$$ x^2-8x\ne 0 $$

$$ x(x-8)\ne 0 $$

$$ x\ne 0,\quad x\ne 8. $$

С учётом условия $$x\le 8$$ получаем:

$$ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;8). $$

Ответ

$$12\text{ ч},\ 9\text{ ч};\quad D(f_1)=[-4;-1)\cup(-1;+\infty);\quad D(f_2)=(-\infty;0)\cup(0;8).$$