Упр.242 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани А до пристани В и возвращается обратно за 4 ч 48 мин. Найдите область определения функции:
1) f(x) = корень(x — 2) + (x + 2)/(x — 5);

Обозначим через $$x$$ км/ч собственную скорость катера, а через $$y$$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость катера по течению равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.

До встречи с плотом катер шёл $$2$$ ч, значит, прошёл $$2(x-y)$$ км. Плот за это время двигался $$2+2=4$$ ч и прошёл $$4y$$ км. Так как расстояние между пристанями равно $$28$$ км, получаем:

$$2(x-y)+4y=28.$$

Время движения катера от $$A$$ до $$B$$ и обратно равно $$4\text{ ч }48\text{ мин}=\frac{24}{5}$$ ч, поэтому

$$\frac{28}{x+y}+\frac{28}{x-y}=\frac{24}{5}.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 2(x-y)+4y=28,\\ \dfrac{28}{x+y}+\dfrac{28}{x-y}=\dfrac{24}{5}. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$2x+2y=28,$$

$$x+y=14.$$

Тогда из второго уравнения:

$$\frac{28}{14}+\frac{28}{x-y}=\frac{24}{5},$$

$$2+\frac{28}{x-y}=\frac{24}{5},$$

$$\frac{28}{x-y}=\frac{14}{5},$$

$$x-y=10.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=14,\\ x-y=10. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2x=24,$$

$$x=12.$$

Тогда

$$y=14-12=2.$$

Найдём область определения функции $$f(x)=\sqrt{x-2}+\dfrac{x+2}{x-5}$$.

Для корня нужно:

$$x-2\ge 0,$$

то есть $$x\ge 2.$$

Для дроби знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x-5\ne 0,$$

то есть $$x\ne 5.$$

Следовательно,

$$D(f)=[2;5)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

Скорость течения реки $$2$$ км/ч, собственная скорость катера $$12$$ км/ч; $$D(f)=[2;5)\cup(5;+\infty).$$