Упр.234 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению — на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.
- Найдите область определения функции:
1) $$f(x)=\frac{x+3}{x-4}$$;
2) $$f(x)=\frac{9}{x^2+16}$$;
3) $$f(x)=\frac{5x+1}{x^2-6x+8}$$;
4) $$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}$$;
5) $$f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}$$;
6) $$f(x)=\sqrt{x^2+1}$$.
Обозначим: $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.
Тогда скорость катера против течения равна $$x-y$$, а по течению — $$x+y$$.
Составим уравнения по условию:
$$\frac{48}{x-y}+\frac{30}{x+y}=3,$$
$$\frac{36}{x-y}-\frac{15}{x+y}=1.$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\frac{96}{x-y}+\frac{60}{x+y}=6.$$
Вычтем из него второе уравнение, умноженное на $$2$$:
$$\left(\frac{96}{x-y}+\frac{60}{x+y}\right)-\left(\frac{72}{x-y}-\frac{30}{x+y}\right)=6-2,$$
$$\frac{24}{x-y}+\frac{90}{x+y}=4.$$
Удобнее заметить, что из системы получаем:
$$\frac{48}{x-y}+\frac{30}{x+y}=3,$$
$$\frac{36}{x-y}-\frac{15}{x+y}=1.$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$\frac{72}{x-y}-\frac{30}{x+y}=2.$$
Сложим уравнения:
$$\frac{120}{x-y}=5,$$
$$x-y=24.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{36}{24}-\frac{15}{x+y}=1,$$
$$\frac{3}{2}-\frac{15}{x+y}=1,$$
$$\frac{15}{x+y}=\frac{1}{2},$$
$$x+y=30.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x-y=24,\\ x+y=30. \end{cases}$$
$$2x=54,\quad x=27,$$
$$y=30-27=3.$$
Найдём область определения функций.
$$f(x)=\frac{x+3}{x-4}$$
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x-4\ne 0,\quad x\ne 4.$$$$f(x)=\frac{9}{x^2+16}$$
Так как $$x^2+16>0$$ при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.$$f(x)=\frac{5x+1}{x^2-6x+8}$$
Знаменатель не равен нулю:
$$x^2-6x+8\ne 0,$$
$$(x-2)(x-4)\ne 0.$$
Значит,
$$x\ne 2,\quad x\ne 4.$$$$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}$$
Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
$$x-1\ge 0,\quad x-3\ge 0.$$
Отсюда
$$x\ge 3.$$$$f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}$$
Требуется одновременно:
$$x-5\ge 0,\quad 5-x\ge 0.$$
Следовательно,
$$x=5.$$$$f(x)=\sqrt{x^2+1}$$
Так как
$$x^2+1>0$$
при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.
Ответ
$$x=27\text{ км/ч},\quad y=3\text{ км/ч};$$
$$D_1=(-\infty;4)\cup(4;+\infty);$$
$$D_2=(-\infty;+\infty);$$
$$D_3=(-\infty;2)\cup(2;4)\cup(4;+\infty);$$
$$D_4=[3;+\infty);$$
$$D_5=\{5\};$$
$$D_6=(-\infty;+\infty).$$
