Упр.234 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки. Найдите область определения функции:
1) f(х) = (x + 3)/(x — 4);
2) f(x) = 9/(x^2 + 16);
3) f(х) = (5x + 1)/(x^2 — 6x + 8);
4) f(х) = корень(x — 1) + корень(x — 3);
5) f(x) = корень(x — 5) + корень(5 — x);
6) f(х) = корень(x^2 + 1).

Обозначим: $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость катера против течения равна $$x-y$$, а по течению — $$x+y$$.

Составим уравнения по условию:

$$ \frac{48}{x-y}+\frac{30}{x+y}=3, $$
$$ \frac{36}{x-y}-\frac{15}{x+y}=1. $$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$ \frac{96}{x-y}+\frac{60}{x+y}=6. $$

Вычтем из него второе уравнение, умноженное на $$2$$:

$$ \left(\frac{96}{x-y}+\frac{60}{x+y}\right)-\left(\frac{72}{x-y}-\frac{30}{x+y}\right)=6-2, $$
$$ \frac{24}{x-y}+\frac{90}{x+y}=4. $$

Удобнее заметить, что из системы получаем:

$$ \frac{48}{x-y}+\frac{30}{x+y}=3, $$
$$ \frac{36}{x-y}-\frac{15}{x+y}=1. $$

Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$ \frac{72}{x-y}-\frac{30}{x+y}=2. $$

Сложим уравнения:

$$ \frac{120}{x-y}=5, $$
$$ x-y=24. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ \frac{36}{24}-\frac{15}{x+y}=1, $$
$$ \frac{3}{2}-\frac{15}{x+y}=1, $$
$$ \frac{15}{x+y}=\frac{1}{2}, $$
$$ x+y=30. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x-y=24,\\ x+y=30. \end{cases} $$

$$ 2x=54,\quad x=27, $$
$$ y=30-27=3. $$

Найдём область определения функций.

1. $$ f(x)=\frac{x+3}{x-4} $$
   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   $$ x-4\ne 0,\quad x\ne 4. $$

2. $$ f(x)=\frac{9}{x^2+16} $$
   Так как $$x^2+16>0$$ при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.

3. $$ f(x)=\frac{5x+1}{x^2-6x+8} $$
   Знаменатель не равен нулю:
   $$ x^2-6x+8\ne 0, $$
   $$ (x-2)(x-4)\ne 0. $$
   Значит,
   $$ x\ne 2,\quad x\ne 4. $$

4. $$ f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3} $$
   Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
   $$ x-1\ge 0,\quad x-3\ge 0. $$
   Отсюда
   $$ x\ge 3. $$

5. $$ f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x} $$
   Требуется одновременно:
   $$ x-5\ge 0,\quad 5-x\ge 0. $$
   Следовательно,
   $$ x=5. $$

6. $$ f(x)=\sqrt{x^2+1} $$
   Так как
   $$ x^2+1>0 $$
   при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.

Ответ

$$ x=27\text{ км/ч},\quad y=3\text{ км/ч}; $$
$$ D_1=(-\infty;4)\cup(4;+\infty); $$
$$ D_2=(-\infty;+\infty); $$
$$ D_3=(-\infty;2)\cup(2;4)\cup(4;+\infty); $$
$$ D_4=[3;+\infty); $$
$$ D_5=\{5\}; $$
$$ D_6=(-\infty;+\infty). $$