Упр.23 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) a^2 / (а^4 + 1) <= 1/2; 2) (5a + 1)^2 / 5 >= 4а.

1) Найдём площадь одного пикселя:

$$ S=\frac{864}{50320896}\ \text{мм}^2 $$
$$ S=\frac{9\cdot 96}{96\cdot 524176}\ \text{мм}^2=\frac{9}{524176}\ \text{мм}^2 $$
$$ S\approx 0{,}00001717\ \text{мм}^2=1{,}717\cdot 10^{-5}\ \text{мм}^2 $$

2) Докажем неравенства.

$$ \frac{a^2}{a^4+1}\le \frac12 $$
$$ \frac{a^2}{a^4+1}-\frac12\le 0 $$
$$ \frac{2a^2-(a^4+1)}{2(a^4+1)}\le 0 $$
$$ \frac{-a^4+2a^2-1}{2(a^4+1)}\le 0 $$
$$ \frac{-(a^2-1)^2}{2(a^4+1)}\le 0 $$
Так как $a^4+1>0$ при любых $a$, а $(a^2-1)^2\ge 0$, то неравенство верно при всех значениях переменной.

$$ \frac{(5a+1)^2}{5}\ge 4a $$
$$ \frac{(5a+1)^2}{5}-4a\ge 0 $$
$$ \frac{(5a+1)^2-20a}{5}\ge 0 $$
$$ \frac{25a^2+10a+1-20a}{5}\ge 0 $$
$$ \frac{25a^2-10a+1}{5}\ge 0 $$
$$ \frac{(5a-1)^2}{5}\ge 0 $$
Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно при всех $a$.

Ответ

$$ 1{,}717\cdot 10^{-5}\ \text{мм}^2; $$
$$ \frac{a^2}{a^4+1}\le \frac12,\qquad \frac{(5a+1)^2}{5}\ge 4a. $$