Упр.23 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

В цифровых фотоаппаратах роль фотоплёнки выполняет матрица, состоящая из светочувствительных элементов — пикселей. Фотоаппарат имеет матрицу размером $$864\ \text{мм}^2$$, на которой разместились $$50\,320\,896$$ пикселей. Сколько квадратных миллиметров занимает один пиксель? Ответ запишите в стандартном виде.
Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $$\frac{a^2}{a^4+1}\leq\frac{1}{2}$$;

2) $$\frac{(5a+1)^2}{5}\geq4a$$.

Подробный ответ

1) Найдём площадь одного пикселя:

$$S=\frac{864}{50320896}\ \text{мм}^2$$
$$S=\frac{9\cdot 96}{96\cdot 524176}\ \text{мм}^2=\frac{9}{524176}\ \text{мм}^2$$
$$S\approx 0{,}00001717\ \text{мм}^2=1{,}717\cdot 10^{-5}\ \text{мм}^2$$

2) Докажем неравенства.

$$\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac12$$
$$\frac{a^2}{a^4+1}-\frac12\le 0$$
$$\frac{2a^2-(a^4+1)}{2(a^4+1)}\le 0$$
$$\frac{-a^4+2a^2-1}{2(a^4+1)}\le 0$$
$$\frac{-(a^2-1)^2}{2(a^4+1)}\le 0$$
Так как $$a^4+1>0$$ при любых $$a$$, а $$(a^2-1)^2\ge 0$$, то неравенство верно при всех значениях переменной.

$$\frac{(5a+1)^2}{5}\ge 4a$$
$$\frac{(5a+1)^2}{5}-4a\ge 0$$
$$\frac{(5a+1)^2-20a}{5}\ge 0$$
$$\frac{25a^2+10a+1-20a}{5}\ge 0$$
$$\frac{25a^2-10a+1}{5}\ge 0$$
$$\frac{(5a-1)^2}{5}\ge 0$$
Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно при всех $$a$$.