Упр.222 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Значение какого из данных выражений может быть целым числом:
1) a/b + b/a;
2) a/b — b/a;
3) a/b;
4) b/a?

Пусть $$x$$ км/ч — скорость товарного поезда, а $$y$$ км/ч — скорость скорого поезда.

Тогда скорый поезд ехал до встречи $$3+3=6$$ ч, а товарный — $$3$$ ч. Составим уравнение по расстоянию:

$$6y+3x=450.$$

Скорый поезд проходит весь путь на $$7\text{ ч }30\text{ мин} = 7{,}5$$ ч быстрее товарного, значит:

$$\frac{450}{x}-\frac{450}{y}=7{,}5.$$

Из первого уравнения:

$$2y+x=150,\qquad x=150-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{450}{150-2y}-\frac{450}{y}=7{,}5.$$

Умножим на $$2$$:

$$\frac{900}{150-2y}-\frac{900}{y}=15.$$

Умножим на $$y(150-2y)$$:

$$900y-900(150-2y)=15y(150-2y).$$

$$900y-135000+1800y=2250y-30y^2.$$

$$30y^2+450y-135000=0.$$

Разделим на $$30$$:

$$y^2+15y-4500=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 4500=18225,$$

$$\sqrt{D}=135.$$

Тогда

$$y=\frac{-15+135}{2}=60,$$

$$x=150-2\cdot 60=30.$$

Значит, скорость скорого поезда $$60$$ км/ч, а товарного — $$30$$ км/ч.

Ответ

$$60\text{ км/ч};\ 30\text{ км/ч}.$$

Ход решения

Известно, что $$a$$ — чётное число, $$b$$ — нечётное, $$a>b$$. Проверим выражения:

1) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}.$$ Числитель и знаменатель не дают гарантии целого значения, значит выражение не обязательно целое.

2) $$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2-b^2}{ab}.$$ Это тоже не обязательно целое.

3) $$\frac{a}{b}.$$ Так как $$a$$ чётное, $$b$$ нечётное, частное может быть целым числом, например при $$a=6$$ и $$b=3$$.

4) $$\frac{b}{a}.$$ При нечётном $$b$$ и чётном $$a$$ это не может быть целым числом в общем случае.

Ответ

$$3)$$